解释一下积分变上限函数
本文从以下几个方面讨论这个问题什么是变上限函数？它如何求导？广义的变上限函数求导方法–用牛莱公式一步到位！1、积分上限函数的通俗理解先看个例子：考虑一个定积分：A(b)=∫abf(t)dt(1)A(b)=\int_{a}^{b} f(t) d t \tag{1} A(b)=∫abf(t)dt(1)如果把的上限在变化的话，那么这个过程就应该是这样的：图片来自网络侵删。上图其实是变上限函数 A
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本文从以下几个方面讨论这个问题
- 什么是变上限函数？
- 它如何求导？
- 广义的变上限函数求导方法–用牛莱公式一步到位！
1、积分上限函数的通俗理解
先看个例子：
考虑一个定积分：
A
(
b
)
=
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
(1)
A(b)=\int_{a}^{b} f(t) d t \tag{1}
A(b)=∫abf(t)dt(1)
如果把的上限在变化的话，那么这个过程就应该是这样的：
上图其实是变上限函数
A
(
b
)
=
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
A(b)=\int_{a}^{b} f(t) d t
A(b)=∫abf(t)dt 的几何变化情况, 当
b
b
b 为变量时这个綠色部分的 面积就是关于
b
b
b 的函数。这时我们把
b
b
b 换成
x
,
A
(
b
)
x, A(b)
x,A(b) 记成
F
(
x
)
,
F(x),
F(x), 它就交成了这个函数：
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
(2)
F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t \tag{2}
F(x)=∫axf(t)dt(2)
称为积分变上限函数，有的地方又叫变上限函数，变上限积分。通俗地讲：就是定积分的上限是一个变量，而不是常量。
2、积分变上限函数的性质和导数
这个函数有很多良好的性质，其中一个最爽的性质就是：
- 如果 f ( t ) f(t) f(t) 连续，那么 F ( x ) F(x) F(x) 连续且可导。
考虑它的导数定义式:
lim
Δ
x
→
0
F
(
x
+
Δ
x
)
−
F
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
∫
a
x
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
∫
x
x
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
Δ
x
(3)
\begin{aligned} \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\int_{a}^{x+\Delta x} f(t) d t-\int_{a}^{x} f(t) d t}{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) d t}{\Delta x} \end{aligned} \tag{3}
Δx→0limΔxF(x+Δx)−F(x)=Δx→0limΔx∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt=Δx→0limΔx∫xx+Δxf(t)dt(3)
注意（3）式就很有意思了，它表示下图所示的红斜杠阴影部分的面积：
这里要用到积分中值定理：
∫
x
x
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
=
Δ
x
⋅
f
(
ξ
)
(4)
\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) d t=\Delta x \cdot f(\xi) \tag{4}
∫xx+Δxf(t)dt=Δx⋅f(ξ)(4)
简单地说就是有个点
ξ
\xi
ξ, 使得在这一点对应的
f
(
ξ
)
f(\xi)
f(ξ) 作为高,
Δ
x
\Delta x
Δx 作为密的拒形面积, 等于红 綫阴影部分的曲边梯形的面积。注意这个
ξ
\xi
ξ 是在
[
x
,
x
+
Δ
x
]
[x, x+\Delta x]
[x,x+Δx] 之间的，那么如果
Δ
x
→
0
\Delta x \rightarrow 0
Δx→0 这个
ξ
\xi
ξ 就会无限趋于
x
x
x 。此时上述矩形的面积也就无限趋近于曲边梯形的面积。
于是把（４）代入（３）就得到：
lim Δ x → 0 ∫ x x + Δ x f ( t ) d t Δ x ＝ lim Δ x → 0 Δ x ⋅ f ( ξ ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( ξ ) = f ( x ) (5) \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \int_{x}^{x+\Delta x } f(t) d t }{\Delta x} ＝ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \Delta x\cdot f(\xi)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(\xi)=f(x) \tag{5} Δx→0limΔx∫xx+Δxf(t)dt＝Δx→0limΔxΔx⋅f(ξ)=Δx→0limf(ξ)=f(x)(5)
注意：这步推导成立的前提是 f ( x ) f(x) f(x) 连续。
再把（5）代回（3），再注意到（3)其实就是 F ( x ) F(x) F(x) 的导数，于是：
F
′
(
x
)
=
d
[
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
]
d
x
=
lim
Δ
x
→
0
F
(
x
+
Δ
x
)
−
F
(
x
)
Δ
x
=
f
(
x
)
(6)
F^\prime(x)=\frac{d\left[\int_{a}^{x} f(t) d t \right]}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}= f(x) \tag{6}
F′(x)=dxd[∫axf(t)dt]=Δx→0limΔxF(x+Δx)−F(x)=f(x)(6)
一元函数连续一定可导，所以证明完成。
3、进入正题：用牛莱公式重新认识积分变上限函数
牛莱公式的定义是：
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
(7)
\int_{a}^{b} f(t) d t=F(b)-F(a) \tag{7}
∫abf(t)dt=F(b)−F(a)(7)
如果我直接用它来研究变上限函数会是怎样：
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
F
(
x
)
−
F
(
a
)
(8)
\int_{a}^{x} f(t) d t=F(x)-F(a) \tag{8}
∫axf(t)dt=F(x)−F(a)(8)
左右相等对不对？所以我左边要求导是不是右边也对应求导？
现在正题来了，直接考虑右端求导：
由于左右边求导等于右边求导，那么也就能得到（6）式。
接下来才是最正的题：
考虑（2）式最一般的情形：
Φ
(
x
)
=
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
t
)
d
t
(9)
\Phi(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) d t \tag{9}
Φ(x)=∫a(x)b(x)f(t)dt(9)
许多人第一次见到这个东西就吓到了，书上动不动就给你拆开分成两个。完全用不着！
这里仍然设 F ( x ) F(x) F(x) 是 f ( x ) f(x) f(x) 的原函数，那么根据牛莱公式就有：
Φ
(
x
)
=
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
t
)
d
t
=
F
[
b
(
x
)
]
−
F
[
a
(
x
)
]
(10)
\Phi(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) d t = F[b(x)]-F[a(x)] \tag{10}
Φ(x)=∫a(x)b(x)f(t)dt=F[b(x)]−F[a(x)](10)
那么此时再对
Φ
(
x
)
\Phi(x)
Φ(x) 求导是不是就感觉容易多了，没错，就是复合函数求导：
Φ
′
(
x
)
=
(
F
[
b
(
x
)
]
−
F
[
a
(
x
)
]
)
′
=
F
′
[
b
(
x
)
]
⋅
b
′
(
x
)
−
F
′
[
a
(
x
)
]
⋅
a
′
(
x
)
(11)
\Phi^\prime(x)=\left(F[b(x)]-F[a(x)]\right)^\prime=F^\prime[b(x)]\cdot b^\prime(x)-F^\prime[a(x)]\cdot a^\prime(x) \tag{11}
Φ′(x)=(F[b(x)]−F[a(x)])′=F′[b(x)]⋅b′(x)−F′[a(x)]⋅a′(x)(11)
搞定！
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