师兄博客原文地址 https://blog.csdn.net/LogHouse/article/details/96434429

智能控制与优化决策课题组制作。
对应周志华《机器学习》第十六章内容。

一些问题

1、分析强化学习与监督学习的联系与差别。

监督学习就是有导师学习，所学习的样例是有标签的。
强化学习是无导师学习。但实际上，强化学习有一位隐形的 导师，这个导师会告诉你所获得的 奖赏，这些奖赏其实也是一种标签，不过这种标签需要通过学习得到。

2、 $\epsilon$-贪心法如何实现探索与利用的平衡。

探索指对未知的部分进行尝试和认知，尝试找到较当前最优解更优的解；
利用指使用已知部分的信息，保证解较优。
$\epsilon$贪心法是一种平衡探索与利用的方法，以ϵ $\epsilon$的概率进行探索，以 $\epsilon -1$的概率进行利用，通常令 $\epsilon$取一个较小的常数，也就是说，以大概率利用，小概率探索。不过，如果你去餐馆的次数足够多了，几乎所有餐馆你都去过了，那里就可以放心的去你现在发现最好吃的餐馆了，所以，探索的概率逐渐减小也是个不错的选择。

3、如何用赌博机算法实现强化学习任务。

在玩K-摇臂赌博机时，赌徒在投入一个硬币后可选择按下其中一个摇臂，每个摇臂以一定的概率吐出硬币，但这个概率赌徒并不知道，那要如何最大化自己的奖赏呢。最大化奖赏需要做两件事：1）尽可能准确的知道每个摇臂平均奖赏；2）尽可能多的利用平均奖赏最多的那个摇臂。
对于第一件事，需要的是多次尝试，观察记录摇臂按下的次数和获得的奖赏，计算每个摇臂的平均奖赏；对于第二件事，就是尽可能选择平均奖赏多的摇臂。
将赌博机算法用于每个状态，对每个状态分别记录个动作的尝试次数、当前平均累积奖赏等信息，然后基于 $\epsilon$-贪心算法之类的方法选择下一步的动作。

4、试推导 $\gamma$折扣累积奖赏的全概率展开式(16.8)。

$$\begin{array}{rl}{V}_{\gamma }^{\pi }& ={\mathbb{E}}_{\pi }[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{r}_{t+1}|x_0=x]\\ & ={\mathbb{E}}_{\pi }[r_1+\sum _{t=1}^{\infty }{\gamma }^t{r}_{t+1}|x_0=x]\\ & ={\mathbb{E}}_{\pi }[r_1+\gamma \sum _{t=1}^{\infty }{\gamma }^{t-1}{r}_{t+1}|x_0=x]\\ & =\sum _{a\in A}\pi (x,a)\sum _{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma {\mathbb{E}}_{\pi }[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{r}_{t+1}|x_0=x^{\prime }])\\ & =\sum _{a\in A}\pi (x,a)\sum _{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma V_{\gamma }^{\pi }(x^{\prime }))\end{array}$$
其中， $\pi (x,a)$表示在 $x$状态下执行动作 $a$的概率； $P_{x\to x^{\prime }}^a$表示执行动作 $a$之后转移到状态 $x^{\prime }$的概率； $R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma V_{\gamma }^{\pi }(x^{\prime })$表示到达状态 $x^{\prime }$所能获得的奖赏，其中 $R_{x\to x^{\prime }}^a$为即时奖赏， $\gamma V_{\gamma }^{\pi }(x^{\prime })$为未来奖赏的估计。

5、什么是动态规划中的最优性原理，与强化学习中的策略更新有什么关系

最优性原理：一个最优策略的子策略必须是最优的。
在强化学习中，策略实际上是状态到动作的映射，在某一个状态下，策略决定了采取什么动作。
如果每一个状态下采取的动作都是最优动作，那么，总的策略也会是最优的。

6、完成时序差分学习中式(16.31)的推导。

时序差分学习的特点就是每执行一步策略后就进行值函数的更新。
在计算第 $t+1$个采样 $r_{t+1}$时按照增量平均公式有：
$$Q_{t+1}^{\pi }(x,a)=Q_t^{\pi }(x,a)+\frac{1}{t+1}(r_{t+1}-Q_t^{\pi }(x,a))$$
采用近似的方法，令 $\alpha ={\alpha }_{t+1},\alpha$为较小的整数。这种近似在 $t$增大时是收敛的。结合策略改进方式（16.15）有：
$$r_{t+1}=(R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma \underset{a^{\prime }\in A}{\max }+Q_t^{\pi }(x^{\prime },a^{\prime })$$
推出：
$$Q_{t+1}^{\pi }(x,a)=Q_t^{\pi }(x,a)+\alpha (R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma \underset{a^{\prime }\in A}{\max }{Q}_t^{\pi }(x^{\prime },a^{\prime })-Q_t^{\pi }(x,a))$$
综合 $\epsilon$-贪心法可以的到：
$$Q_{t+1}^{\pi }(x,a)=Q_t^{\pi }(x,a)+\alpha (R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma Q_t^{\pi }(x^{\prime },a^{\prime })-Q_t^{\pi }(x,a))$$

可结合我的这篇博文一起理解 强化学习——Q学习算法