从旋转矩阵计算欧拉角
从旋转矩阵计算欧拉角从旋转矩阵中找到所有可能的欧拉角的简单方法，在计算机图形学、视觉学、机器人学和运动学中，欧拉角的确定有时是必要的一步。然而，解决方案可能是明显的，也可能不是。旋转矩阵我们从三个主要轴的旋转的标准定义开始。绕x轴的弧度旋转ψ\psiψ被定义为：Rx(ψ)=[1000cosψ−sinψ0sinψcosψ]R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc
从旋转矩阵计算欧拉角
从旋转矩阵中找到所有可能的欧拉角的简单方法，在计算机图形学、视觉学、机器人学和运动学中，欧拉角的确定有时是必要的一步。然而，解决方案可能是明显的，也可能不是。
旋转矩阵
我们从三个主要轴的旋转的标准定义开始。
绕x轴的弧度旋转
ψ
\psi
ψ被定义为：
R
x
(
ψ
)
=
[
1
0
0
0
cos
ψ
−
sin
ψ
0
sin
ψ
cos
ψ
]
R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \psi & -\sin \psi \\ 0 & \sin \psi & \cos \psi \end{array}\right]
Rx(ψ)=⎣⎡1000cosψsinψ0−sinψcosψ⎦⎤
类似地，绕y轴旋转的弧度定义为
R
x
(
ψ
)
=
[
c
o
s
θ
0
s
i
n
θ
0
1
0
−
s
i
n
θ
0
c
o
s
θ
]
R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{array}\right]
Rx(ψ)=⎣⎡cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎦⎤
最后，定义了沿z轴旋转的弧度为
R
z
(
ϕ
)
=
[
cos
ϕ
−
sin
ϕ
0
sin
ϕ
cos
ϕ
0
0
0
1
]
R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Rz(ϕ)=⎣⎡cosϕsinϕ0−sinϕcosϕ0001⎦⎤
这三个角
ψ
,
θ
,
ϕ
\psi,\theta, \phi
ψ,θ,ϕ是欧拉角
广义旋转矩阵
一般的旋转矩阵可以有这样的形式
R
z
(
ϕ
)
=
[
R
11
R
12
R
13
R
21
R
22
R
23
R
31
R
32
R
33
]
R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} R_{11}&R_{12}&R_{13} \\ R_{21}&R_{22}&R_{23} \\ R_{31}&R_{32} &R_{33} \end{array}\right]
Rz(ϕ)=⎣⎡R11R21R31R12R22R32R13R23R33⎦⎤
这个矩阵可以被认为是一个三旋转的序列，每个主轴各一个。因为矩阵乘法不能交换，旋转的轴的顺序将影响结果。在这个分析中，我们先绕
x
x
x轴旋转，然后绕
y
y
y轴旋转，最后绕
z
z
z轴旋转。这样的旋转序列可以用矩阵乘积表示。
R
=
R
z
(
ϕ
)
R
y
(
θ
)
R
x
(
ψ
)
=
[
cos
θ
cos
ϕ
sin
ψ
sin
θ
cos
ϕ
−
cos
ψ
sin
ϕ
cos
ψ
sin
θ
cos
ϕ
+
sin
ψ
sin
ϕ
cos
θ
sin
ϕ
sin
ψ
sin
θ
sin
ϕ
+
cos
ψ
cos
ϕ
cos
ψ
sin
θ
sin
ϕ
−
sin
ψ
cos
ϕ
−
sin
θ
sin
ψ
cos
θ
cos
ψ
cos
θ
]
\begin{aligned} R &=R_{z}(\phi) R_{y}(\theta) R_{x}(\psi) \\ &=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta \cos \phi & \sin \psi \sin \theta \cos \phi-\cos \psi \sin \phi & \cos \psi \sin \theta \cos \phi+\sin \psi \sin \phi \\ \cos \theta \sin \phi & \sin \psi \sin \theta \sin \phi+\cos \psi \cos \phi & \cos \psi \sin \theta \sin \phi-\sin \psi \cos \phi \\ -\sin \theta & \sin \psi \cos \theta & \cos \psi \cos \theta \end{array}\right] \end{aligned}
R=Rz(ϕ)Ry(θ)Rx(ψ)=⎣⎡cosθcosϕcosθsinϕ−sinθsinψsinθcosϕ−cosψsinϕsinψsinθsinϕ+cosψcosϕsinψcosθcosψsinθcosϕ+sinψsinϕcosψsinθsinϕ−sinψcosϕcosψcosθ⎦⎤
给定一个旋转矩阵
R
R
R，通过将
R
R
R中的每个元素与矩阵乘
R
z
(
ϕ
)
,
R
y
θ
,
R
x
(
ψ
)
R_z(\phi),R_y{\theta},R_x(\psi)
Rz(ϕ),Ryθ,Rx(ψ)中的相应元素等价，可以计算出欧拉角
ψ
,
θ
,
ϕ
\psi,\theta, \phi
ψ,θ,ϕ。九个方程，可以用来找到欧拉角。
求出两个可能的角度 θ \theta θ
从
R
31
R_{31}
R31开始，我们发现
R
31
=
−
s
i
n
θ
R_{31}=-sin\theta
R31=−sinθ
这个方程可以倒过来表示
θ
=
−
s
i
n
−
1
(
R
31
)
\theta=-sin^{-1}(R_{31})
θ=−sin−1(R31)
然而，在解释这个等式时必须谨慎。由于$sin(\pi-\theta)=sin(\theta)，实际上有两个不同的值（对于
R
31
≠
±
1
R_{31} \not=\pm1
R31=±1）满足方程，因此，这两个值
θ
1
=
−
s
i
n
−
1
(
R
31
)
\theta{1}=-sin^{-1}(R_{31})
θ1=−sin−1(R31)
θ
2
=
π
−
θ
1
=
π
+
s
i
n
−
1
(
R
31
)
\theta_{2}=\pi-\theta_1=\pi+sin^{-1}(R_{31})
θ2=π−θ1=π+sin−1(R31)
都是有效的解。我们将在后面处理
R
31
=
±
1
R_{31} =\pm1
R31=±1的特殊情况，因此使用旋转矩阵的R_{31}元素，我们能够确定两个可能的值。
找到 ψ \psi ψ对应的角度
想要找到
ψ
\psi
ψ的值，我们观察这一点
R
32
R
33
=
t
a
n
(
ψ
)
\frac{R_{32}}{R_{33}}=tan(\psi)
R33R32=tan(ψ)
我们用这个方程来解出
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
32
,
R
33
)
\psi=atan2(R_{32},R_{33})
ψ=atan2(R32,R33)
其中
a
t
a
n
2
(
y
,
x
)
atan2(y, x)
atan2(y,x)是两个变量
x
x
x和
y
y
y的
a
r
c
t
a
n
arctan
arctan，类似于计算
y
x
\frac{y}{x}
xy的
a
r
c
t
a
n
arctan
arctan，只是用两个参数的符号来确定结果的象限，其范围为
[
−
π
,
π
]
[-\pi,\pi]
[−π,π]，函数
a
t
a
n
2
atan2
atan2在许多编程语言中都可用。
在解释方程
2
2
2时必须小心，如果
c
o
s
(
θ
)
>
0
cos(\theta)>0
cos(θ)>0，那么
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
32
,
R
33
)
\psi=atan2(R_{32},R_{33})
ψ=atan2(R32,R33)。然而，当
c
o
s
(
θ
)
<
0
cos(\theta)<0
cos(θ)<0，
ψ
=
a
t
a
n
2
(
−
R
32
,
−
R
33
)
\psi=atan2(-R_{32},-R_{33})
ψ=atan2(−R32,−R33)。处理这个问题的一个简单方法是使用这个方程
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
32
c
o
s
θ
,
R
33
c
o
s
θ
)
\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta},\frac{R_{33}}{cos\theta})
ψ=atan2(cosθR32,cosθR33)
去计算
ψ
\psi
ψ。
方程
3
3
3对除
c
o
s
θ
=
0
cos\theta = 0
cosθ=0之外的所有情况都有效。
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
32
c
o
s
θ
1
,
R
33
c
o
s
θ
1
)
\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta_{1}},\frac{R_{33}}{cos\theta_{1}})
ψ=atan2(cosθ1R32,cosθ1R33)
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
32
c
o
s
θ
2
,
R
33
c
o
s
θ
2
)
\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta_{2}},\frac{R_{33}}{cos\theta_{2}})
ψ=atan2(cosθ2R32,cosθ2R33)
求出 ϕ \phi ϕ对应的角度
类似的分析也适用于寻找。我们观察到
R
21
R
11
=
t
a
n
ϕ
\frac{R_{21}}{R_{11}}=tan\phi
R11R21=tanϕ
我们用这个方程解出了
ϕ
\phi
ϕ
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
21
c
o
s
θ
1
,
R
11
c
o
s
θ
1
)
\psi=atan2(\frac{R_{21}}{cos\theta_{1}},\frac{R_{11}}{cos\theta_{1}})
ψ=atan2(cosθ1R21,cosθ1R11)
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
21
c
o
s
θ
2
,
R
11
c
o
s
θ
2
)
\psi=atan2(\frac{R_{21}}{cos\theta_{2}},\frac{R_{11}}{cos\theta_{2}})
ψ=atan2(cosθ2R21,cosθ2R11)
c o s θ ≠ 0 cos\theta\not=0 cosθ=0时的两个解
对于
c
o
s
θ
≠
0
cos\theta\not=0
cosθ=0的情况，我们现在有两个三个一组的欧拉角再现了旋转矩阵，为
ψ
1
,
θ
1
,
ϕ
1
\psi_1,\theta_1,\phi_1
ψ1,θ1,ϕ1
ψ
2
,
θ
2
,
ϕ
2
\psi_2,\theta_2,\phi_2
ψ2,θ2,ϕ2
这两个解都是有效的。
如果 c o s θ = 0 cos\theta=0 cosθ=0呢？
如果旋转矩阵的
R
31
R_{31}
R31元素为
1
1
1或
−
1
−1
−1，对应的
θ
=
−
π
2
\theta=-\frac{\pi}{2}
θ=−2πor
θ
=
π
2
\theta=\frac{\pi}{2}
θ=2π，
c
o
s
θ
=
0
cos\theta=0
cosθ=0上述就不起作用。当我们尝试使用上述技术来解决可能的值
ψ
,
ϕ
\psi,\phi
ψ,ϕ问题发生了，因为
R
11
,
R
21
,
R
32
和
R
33
R_{11},R_{21},R_{32}和R_{33}
R11,R21,R32和R33可能值为
0
0
0，因此
ψ
,
ϕ
\psi,\phi
ψ,ϕ变为
ψ
=
a
t
a
n
2
(
0
0
,
0
0
)
\psi=atan2(\frac{0}{0},\frac{0}{0})
ψ=atan2(00,00)
ϕ
=
a
t
a
n
2
(
0
0
,
0
0
)
\phi=atan2(\frac{0}{0},\frac{0}{0})
ϕ=atan2(00,00)
这种情况下，
R
11
、
R
21
、
R
32
R11、R21、R32
R11、R21、R32和
R
33
R33
R33没有约束
ψ
,
ϕ
\psi,\phi
ψ,ϕ这些值。因此，我们必须利用旋转矩阵的不同元素来计算
ψ
,
ϕ
\psi,\phi
ψ,ϕ。
θ
=
π
2
\theta=\frac{\pi}{2}
θ=2π：
R
12
=
sin
ψ
cos
ϕ
−
cos
ψ
sin
ϕ
=
sin
(
ψ
−
ϕ
)
R
13
=
cos
ψ
cos
ϕ
+
sin
ψ
sin
ϕ
=
cos
(
ψ
−
ϕ
)
R
22
=
sin
ψ
sin
ϕ
+
cos
ψ
cos
ϕ
=
cos
(
ψ
−
ϕ
)
=
R
13
R
23
=
cos
ψ
sin
ϕ
−
sin
ψ
cos
ϕ
=
−
sin
(
ψ
−
ϕ
)
=
−
R
12
\begin{array}{l} R_{12}=\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi=\sin (\psi-\phi) \\ R_{13}=\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=\cos (\psi-\phi) \\ R_{22}=\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi=\cos (\psi-\phi)=R_{13} \\ R_{23}=\cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi=-\sin (\psi-\phi)=-R_{12} \end{array}
R12=sinψcosϕ−cosψsinϕ=sin(ψ−ϕ)R13=cosψcosϕ+sinψsinϕ=cos(ψ−ϕ)R22=sinψsinϕ+cosψcosϕ=cos(ψ−ϕ)=R13R23=cosψsinϕ−sinψcosϕ=−sin(ψ−ϕ)=−R12
任意的
ψ
\psi
ψ和
ϕ
\phi
ϕ都满足方程。我们会发现
(
ψ
−
ϕ
)
=
a
t
a
n
2
(
R
12
,
R
13
)
(\psi-\phi)=atan2(R_{12},R_{13})
(ψ−ϕ)=atan2(R12,R13)
ψ
=
ϕ
+
a
t
a
n
2
(
R
12
,
R
13
)
\psi=\phi+atan2(R_{12},R_{13})
ψ=ϕ+atan2(R12,R13)
θ
=
−
π
2
\theta=-\frac{\pi}{2}
θ=−2π：
R
12
=
−
sin
ψ
cos
ϕ
−
cos
ψ
sin
ϕ
=
−
sin
(
ψ
+
ϕ
)
R
13
=
−
cos
ψ
cos
ϕ
+
sin
ψ
sin
ϕ
=
−
cos
(
ψ
+
ϕ
)
R
22
=
−
sin
ψ
sin
ϕ
+
cos
ψ
cos
ϕ
=
cos
(
ψ
+
ϕ
)
=
−
R
13
R
23
=
−
cos
ψ
sin
ϕ
−
sin
ψ
cos
ϕ
=
−
sin
(
ψ
+
ϕ
)
=
R
12
\begin{array}{l} R_{12}=-\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi=-\sin (\psi+\phi) \\ R_{13}=-\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=-\cos (\psi+\phi) \\ R_{22}=-\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi=\cos (\psi+\phi)=-R_{13} \\ R_{23}=-\cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi=-\sin (\psi+\phi)=R_{12} \end{array}
R12=−sinψcosϕ−cosψsinϕ=−sin(ψ+ϕ)R13=−cosψcosϕ+sinψsinϕ=−cos(ψ+ϕ)R22=−sinψsinϕ+cosψcosϕ=cos(ψ+ϕ)=−R13R23=−cosψsinϕ−sinψcosϕ=−sin(ψ+ϕ)=R12
同样
(
ψ
+
ϕ
)
=
a
t
a
n
2
(
−
R
12
,
−
R
13
)
(\psi+\phi)=atan2(-R_{12},-R_{13})
(ψ+ϕ)=atan2(−R12,−R13)
ψ
=
−
ϕ
+
a
t
a
n
2
(
−
R
12
,
−
R
13
)
\psi=-\phi+atan2(-R_{12},-R_{13})
ψ=−ϕ+atan2(−R12,−R13)
伪代码：
if ( R 31 ≠ ± 1 ) θ 1 = − asin ( R 31 ) θ 2 = π − θ 1 ψ 1 = atan 2 ( R 32 cos θ 1 , R 33 cos θ 1 ) ψ 2 = atan 2 ( R 32 cos θ 2 , R 33 cos θ 2 ) ϕ 1 = atan 2 ( R 21 cos θ 1 , R 11 cos θ 1 ) ϕ 2 = atan 2 ( R 21 cos θ 2 , R 11 cos θ 2 ) else ϕ = anything; can set to 0 if ( R 31 = − 1 ) θ = π / 2 ψ = ϕ + atan 2 ( R 12 , R 13 ) else θ = − π / 2 ψ = − ϕ + atan 2 ( − R 12 , − R 13 ) end if end if \begin{array}{l} \text { if }\left(R_{31} \neq\pm 1\right) \\ \theta_{1}=-\operatorname{asin}\left(R_{31}\right) \\ \theta_{2}=\pi-\theta_{1} \\ \psi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta_{1}}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_{1}}\right) \\ \psi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta_{2}}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_{2}}\right) \\ \phi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{21}}{\cos \theta_{1}}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_{1}}\right) \\ \phi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{21}}{\cos \theta_{2}}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_{2}}\right) \\ \text { else } \\ \begin{array}{c} \phi=\text { anything; can set to } 0 \\ \text { if }\left(R_{31}=-1\right) \\ \theta=\pi / 2 \\ \psi=\phi+\operatorname{atan} 2\left(R_{12}, R_{13}\right) \\ \text { else } \\ \quad \quad \theta=-\pi / 2 \\ \quad \psi=-\phi+\operatorname{atan} 2\left(-R_{12},-R_{13}\right) \\ \text { end if } \end{array} \\ \text { end if } \end{array} if (R31=±1)θ1=−asin(R31)θ2=π−θ1ψ1=atan2(cosθ1R32,cosθ1R33)ψ2=atan2(cosθ2R32,cosθ2R33)ϕ1=atan2(cosθ1R21,cosθ1R11)ϕ2=atan2(cosθ2R21,cosθ2R11) else ϕ= anything; can set to 0 if (R31=−1)θ=π/2ψ=ϕ+atan2(R12,R13) else θ=−π/2ψ=−ϕ+atan2(−R12,−R13) end if end if
实际例子
下面提供了一个例子，演示了从一个旋转矩阵中计算出
ψ
,
θ
,
ϕ
\psi,\theta, \phi
ψ,θ,ϕ。
假设要求我们找出产生这个矩阵的欧拉角
R
z
(
ϕ
)
=
[
.
5
−
.
1464
.
8536
.
5
.
8536
−
.
1464
−
.
7071
.
5
.
5
]
R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} .5&-.1464&.8536 \\ .5&.8536&-.1464\\ -.7071&.5&.5 \end{array}\right]
Rz(ϕ)=⎣⎡.5.5−.7071−.1464.8536.5.8536−.1464.5⎦⎤
首先，求出可能
θ
\theta
θ的取值
θ
1
=
−
s
i
n
(
−
.
7071
)
=
π
4
\theta_1=-sin(-.7071)=\frac{\pi}{4}
θ1=−sin(−.7071)=4π
θ
2
=
π
−
θ
1
=
3
π
4
\theta_2=\pi-\theta_1=\frac{3\pi}{4}
θ2=π−θ1=43π
然后，我们找到相应的数值
ψ
1
=
atan
2
(
.
5
cos
(
π
/
4
)
,
.
5
cos
(
π
/
4
)
)
=
π
4
ψ
2
=
atan
2
(
.
5
cos
(
3
π
/
4
)
,
.
5
cos
(
3
π
/
4
)
)
=
−
3
π
4
\begin{array}{l} \psi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (\pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (\pi / 4)}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \psi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}\right)=-\frac{3 \pi}{4} \end{array}
ψ1=atan2(cos(π/4).5,cos(π/4).5)=4πψ2=atan2(cos(3π/4).5,cos(3π/4).5)=−43π
ϕ
1
=
atan
2
(
.
5
cos
(
π
/
4
)
,
.
5
cos
(
π
/
4
)
)
=
π
4
ϕ
2
=
atan
2
(
.
5
cos
(
3
π
/
4
)
,
.
5
cos
(
3
π
/
4
)
)
=
−
3
π
4
\begin{array}{l} \phi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (\pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (\pi / 4)}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \phi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}\right)=-\frac{3 \pi}{4} \end{array}
ϕ1=atan2(cos(π/4).5,cos(π/4).5)=4πϕ2=atan2(cos(3π/4).5,cos(3π/4).5)=−43π
因此，解为
(
π
4
,
π
4
,
π
4
)
,
(
−
3
π
4
,
3
π
4
,
−
3
π
4
)
(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}),(-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4},-\frac{3\pi}{4})
(4π,4π,4π),(−43π,43π,−43π)
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