上篇讲了nearest-neighbor(最近邻插值)。这篇说cubic interpolation(三次插值)，之前说过，插值就是用已知的点模拟一个方程，然后求未知点。之前讲的插值是线性的。cubic interpolation就是求一个三次的方程。它的思想就是把已知的数分为一个一个小区间，人拟合到曲线上去。就是一个多分段函数高阶函数（此处的阶数为3）。给一个文档上的图可能比较清楚。 

    把区间[a,b]分为n个区间[x0,x1],[x1,x2].....[xn-1,xn]共有n+1个点。其中x0=a，xn=b。把函数定义为

如果满足一下三个条件，我们就称之为三次样条函数(x)

1，在每个分段小区间 [xi,xi+1] 上， (x)=  (x)是一个三次方程

2，满足插值条件，即  

3, 曲线光滑，即 一阶，二阶导存在且连续

现在就是求目标就是求每一段的4个未知数。一共有n段所以有4n个未知数。那么我们需要4n个方程。现在我们就开始列这些方程

     首先 在区间[xi,xi+1]上 ,在区间[xi+1,x+2]中    。共有n-1个区间，所以有2(n-1)个方程，加上两个端点就有2个方程。其实简单的想就是n个区间[x0,x1],[x1,x2].....[xn-1,xn]共有n+1个点。每个点用了两次，2(n+1),但是第一个点和最后一个点只用了一次，所以减二。所以为2n。

      还差2n个方程，现在就是每一个连接点处的一阶导和二阶导是相等的。, 。这里有2(n-1)个方程。现在我们还差2个方程。

      有3种边界条件：

     1 自然边界： 指定端点二阶导数为0，

     2 固定边界：假设两个边界值分别为A和B，

     3 非节点边界：强制第一个插值点的三阶导数值等于第二个点的三阶导数值，最后第一个点的三阶导数值等于倒数第二个点的三阶导数值.       

 

     好我们四个方程就全部列完了。现在就开始求解吧。

  

  1    用

     得出   

    2 用  由  

       得出 

    3   用 可得

       

         因为    ，所以 

      4  用 得出

          

        设  ，由，得出 

         

     5  由

       

       ，，

      得出 

     

    6   因为    ，所以 ,把  代入其中。

         得出  

       

          经过上面的6步后，我们构成了关于m的未知线性方程。

 我们分别适应，前面边界条件的三种

  1 自然边界头尾的边界值都为0，首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力。二阶导数为0，于是看把和写成矩阵相乘的形式。（mi表示的是二阶求导）和都等于0，把矩阵写成：

 

  2 固定边界

   

          系数矩阵为

 3 当为 非节点边界时，同理可得系数矩阵为：

 

好了这个就是三次插值，总的来说就是求一个在三阶函数的点，用已知的点来划分区域，形成分段多阶函数。求4n个未知数。列4n个方程，最后用矩阵表示。下一篇讲bicubic interpolation。