两个矩阵相加后求逆
如何计算两个矩阵相加后求逆Householder公式指出如果A是非奇异矩阵，x，y是向量，他们所有的阶数都是n，如果是非奇异的，那么
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如何计算两个矩阵相加后求逆
求解矩阵 ( A + B ) (A+B) (A+B)的逆
这里用增广阵和矩阵变换求解，假设A,B矩阵都可逆
A
+
B
∣
E
\displaystyle\color{red}A+B|E
A+B∣E
左乘
A
−
1
A^{-1}
A−1 :
E
+
A
−
1
B
∣
A
−
1
\displaystyle\color{red}E+A^{-1}B|A^{-1}
E+A−1B∣A−1
在左边矩阵里提取出一个B ，得到：
(
B
−
1
+
A
−
1
)
B
∣
A
−
1
\displaystyle\color{red}(B^{-1}+A^{-1})B|A^{-1}
(B−1+A−1)B∣A−1
然后两边左乘
(
B
−
1
+
A
−
1
)
(B^{-1}+A^{-1})
(B−1+A−1)的逆
B
∣
(
B
−
1
+
A
−
1
)
−
1
A
−
1
\displaystyle\color{red}B|(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}
B∣(B−1+A−1)−1A−1
再左乘B的逆
E
∣
B
−
1
(
B
−
1
+
A
−
1
)
−
1
A
−
1
\displaystyle\color{red}E|B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}
E∣B−1(B−1+A−1)−1A−1
这就得到了常见的版本：
(
A
+
B
)
−
1
=
B
−
1
(
B
−
1
+
A
−
1
)
−
1
A
−
1
\displaystyle\color{red}(A+B)^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}
(A+B)−1=B−1(B−1+A−1)−1A−1
如果改变代入A，B逆的顺序还可以得到其他不同的结果。
矩阵 ( A + x y T ) (A+xy^T) (A+xyT)的逆
该公式详见于Broyden的拟牛顿法文章中，Householder公式指出如果A是
n
×
n
n\times n
n×n非奇异矩阵，x，y是
n
×
1
n\times1
n×1的向量，如果
A
+
x
y
−
T
A+xy^{-T}
A+xy−T是非奇异的，那么
(
A
+
x
y
T
)
−
1
=
A
−
1
−
A
−
1
x
y
T
A
−
1
1
+
y
T
A
−
1
x
\displaystyle\color{red}(A+xy^{T})^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}xy^{T}A^{-1}}{1+y^{T}A^{-1}x}
(A+xyT)−1=A−1−1+yTA−1xA−1xyTA−1
这个是Sherman-Morrison公式，详细证明方式参见其他文章
https://blog.csdn.net/jclian91/article/details/80254568
对其进行验证：
(
A
+
x
y
−
T
)
(
A
−
1
−
A
−
1
x
y
T
A
−
1
1
+
y
T
A
−
1
x
)
\displaystyle(A+xy^{-T})(A^{-1}-\frac{A^{-1}xy^{T}A^{-1}}{1+y^{T}A^{-1}x})
(A+xy−T)(A−1−1+yTA−1xA−1xyTA−1)
= E + x y T A − 1 − x y T A − 1 1 + y T A − 1 x − − x y T A − 1 x y T A − 1 1 + y T A − 1 x \displaystyle=E+xy^{T}A^{-1}-\frac{xy^{T}A^{-1}}{1+y^{T}A^{-1}x}--\frac{x\color{red}y^{T}A^{-1}x\color{black}y^{T}A^{-1}}{1+y^{T}A^{-1}x} =E+xyTA−1−1+yTA−1xxyTA−1−−1+yTA−1xxyTA−1xyTA−1 (注意， y T A − 1 x y^{T}A^{-1}x yTA−1x是一个数）
= E + x y T A − 1 − x y T A − 1 + y T A − 1 x x y T A − 1 − y T A − 1 x x y T A − 1 1 + y T A − 1 x \displaystyle=E+\frac{xy^{T}A^{-1}-xy^{T}A^{-1}+\color{red}y^{T}A^{-1}x\color{black}xy^{T}A^{-1}-\color{red}y^{T}A^{-1}x\color{black}xy^{T}A^{-1}}{1+y^{T}A^{-1}x} =E+1+yTA−1xxyTA−1−xyTA−1+yTA−1xxyTA−1−yTA−1xxyTA−1
= E =E =E
结束语
本文写于偶然学习拟顿法时，见到这两个公式，苦思不得，只能记推导公式于此，望各位看过有所收获
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