之前介绍了时间序列的基本性质和一些基本模型，这里就介绍对时间序列进行分析建模的一套完整流程，也就是Box-Jenkins方法。

简单来说Box-Jenkins方法包括四个阶段，第一，把序列转化为平稳序列，并判断出合适的ARMA模型（确定阶数）用于分析；第二，估计模型的未知参数；第三，对模型进行评价分析；第四，使用得到的模型进行预测。

可以看到，其实整个过程最重要的还是第一个阶段，即如何对非平稳序列进行转化，以及如何确定ARMA模型的阶数。本文先主要介绍如何转化非平稳序列。

之前也说过，非平稳序列主要分析的对象就是非随机的趋势性和季节性，当然实际非平稳序列有很多也可以很复杂，你随便写一个序列也可以是非平稳序列，主要还是目前只有针对这两者的模型发展比较成熟，建模可以得到较好效果，所以才只主要分析他们，至于其他类型的序列，或许深度学习模型是个不错的选择

首先我们来看看，如何判断非平稳，最简单的办法就是看图像，初次之外我们还可以利用SACF（样本自相关函数，sample autocorrelation function）和SPACF（样本偏自相关函数，sample partial autocorrelation function）进行分析。

当我们得到一个样本序列Xt，我们可以计算样本的协方差：
$${\hat{\gamma }}_k=\frac{1}{n}\sum _{t=k+1}^n(x_t-\hat{\mu })(x_{t-k}-\hat{\mu })$$
基于样本的协方差，就可以进一步推出SACF和SPACF。

SACF和SPACF有什么用呢，我们分两种情况来讨论，第一是序列具有平稳性：

1. 如果SACF在时间间隔k较小时剧烈下降到0附近，SPACF快速收敛到0，那么我们可以使用MA模型；

2. 如果SPACF在时间间隔k较小时剧烈下降到0附近，SACF快速收敛到0，那么我们可以使用AR模型；

3. 如果SACF和SPACF都没有剧烈下降，但最终都收敛到0，那么使用ARMA模型更合适。

上述表述中的剧烈下降就是指断崖式的下降，而且不是指收敛到0，后面可能还会上升，比如：

右下图就是一个ACF的图像，可以看到他在k=2时就下降到0附近，可是后面又有波动变化，我们就不能说它收敛到0，所以用剧烈下降到0附近这种表述。

当序列不具有平稳性，我们也能利用SACF和SPACF判断它具有趋势性还是季节性：

1. 如果SACF缓慢下降并最终稳定在1附近，可能序列就具有趋势性，我们可以尝试进行差分运算对其进行转换；

2. 如果SACF显示出周期性，那么可能具有季节性，就需要其他手段进行性转换了。

接下来，我们来重点讨论一下，如果序列具有趋势性或者季节性，应该怎么消除他们的影响。

首先我们来看看趋势性，趋势性可以分为线性趋势和非线性趋势，如果序列显示出线性趋势，我们可以利用线性回归：
$$x_t=\alpha +\beta t+e_t$$
其中，et是白噪声序列，针对序列数据拟合出alpha和beta之后，我们可以计算模型和数据之间的残差：
$${\hat{e}}_t=x_t-\hat{\alpha }-\hat{\beta }x$$
这段残差序列，就构成了一个移除了线性趋势的序列。

类似的，我们也可以利用非线性模型对数据进行拟合，并通过同样的流程得到一段移除了非线性趋势的新序列。

当然，我们的老方法差分运算也可以移除趋势，假设：
$$x_t=a+bt+e_t$$
$$▽x_t=x_t-x_{t-1}=b+▽e_t$$

接下来，我们看看怎么处理季节性。

我们还是利用差分运算，但是要注意差分的步长，应该和季节性变化一致，比如现在有一段每月平均气温的数据，它的变化周期就是一年:
$$x_t=\mu +{\theta }_t+e_t$$
$${\theta }_{t+12}={\theta }_t$$
这时候我们作步长为12的差分：
$$x_t-x_{t-12}=\mu +{\theta }_t+e_t-\mu -{\theta }_{t-12}-e_{t-12}=e_t-e_{t-12}$$
除此之外，之前介绍过的移动平均，也可以用来移除这种季节性，还是以上面这个周期为12的序列为例子：
$$y_t=\frac{1}{12}(\frac{1}{2}{x}_{t-6}+x_{t-5}+...+x_{t+5}+\frac{1}{2}{x}_{t+6})$$
得到的新序列yt就移除了季节性了。

除此之外，还有很多方法，这里就暂不一一介绍了。

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