机器人学求逆解过程中的复杂三角函数式的解析解问题
解决复杂三角函数式解析解的问题最近求机械臂的逆解的解析解，出现了一个三角函数式，虽然用笨方法解出来了，可是有点太浪费时间,于是找到了一种高中常用的方法，方程如下：acosθ+bsinθ=ca cos\theta +bsin\theta =cacosθ+bsinθ=c解法：tanθ2=u,cosθ=1−u21+u2,sinθ=2u1+u2tan\frac{\theta }{2}=u,cos\t...
解决复杂三角函数式解析解的问题
最近求机械臂的逆解的解析解，出现了一个三角函数式，虽然用笨方法解出来了，可是有点太浪费时间,于是找到了一种高中常用的方法，方程如下：
a
c
o
s
θ
+
b
s
i
n
θ
=
c
a cos\theta +bsin\theta =c
acosθ+bsinθ=c
解法： t a n θ 2 = u , c o s θ = 1 − u 2 1 + u 2 , s i n θ = 2 u 1 + u 2 tan\frac{\theta }{2}=u,cos\theta =\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}},sin\theta =\frac{2u}{1+u^{2}} tan2θ=u,cosθ=1+u21−u2,sinθ=1+u22u
带入上式，可得： a 1 − u 2 1 + u 2 + b 2 u 1 + u 2 = c a\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}}+b\frac{2u}{1+u^{2}}=c a1+u21−u2+b1+u22u=c ( a + c ) u 2 − 2 b u + ( a − c ) = 0 (a+c)u^{2}-2bu+(a-c)=0 (a+c)u2−2bu+(a−c)=0
u = b ± b 2 + a 2 − c 2 a + c u=\frac{b\pm \sqrt{b^{2}+a^{2}-c^{2}}}{a+c} u=a+cb±b2+a2−c2
此时应注意： b 2 + a 2 − c 2 \sqrt{b^{2}+a^{2}-c^{2}} b2+a2−c2>=0
当 a + c ≠ 0 a+c\neq 0 a+c̸=0 时 ， θ = 2 tan − 1 ( b ± b 2 + a 2 − c 2 a + c ) \theta =2\tan^{-1}(\frac{b\pm \sqrt{b^{2}+a^{2}-c^{2}}}{a+c}) θ=2tan−1(a+cb±b2+a2−c2)
当 a + c = 0 a+c= 0 a+c=0 时 ， θ = 18 0 ∘ \theta =180^{\circ} θ=180∘
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