第31章　概率论与随机性

概率论，研究，随机现象——随机性，是，世界的，本质特征之一。本章从概率基础、极限定理、随机过程三个方面，介绍概率论与随机性。

第一节　概率基础

概率论，的，基础——样本空间，事件，随机变量。

样本空间与事件。 概率，的，基本概念——样本空间，事件，概率。

样本空间——样本空间（sample space）——随机试验，所有，可能结果，的，集合——Ω——如，掷骰子，Ω={1,2,3,4,5,6}。事件——事件（event）——样本空间，的，子集——A⊆Ω——如，“掷出偶数”——A={2,4,6}。

概率——概率（probability）——给，事件，分配，一个，数P(A)∈[0,1]——满足，非负性，规范性，可列可加——概率，是，事件，发生，可能性，的，度量——柯尔莫哥洛夫，公理，将，概率论，建立在，测度论，之上——概率，就是，一种，测度——这，是，概率论，的，严格基础。

条件概率与独立。 条件概率，和，独立性，是，概率论，的，核心概念。

条件概率——条件概率（conditional probability）——P(A|B)=P(A∩B)/P(B)——它，表示，在，B，发生，的，条件下，A，发生，的，概率——条件概率，揭示了，信息，对，概率，的，影响。贝叶斯公式——贝叶斯公式（Bayes’ theorem）——P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)——它，将，先验概率，更新为，后验概率——贝叶斯公式，是，统计学，机器学习，的，基础——贝叶斯学派，认为，概率，是，信念，的，度量——通过，证据，更新，信念。

独立——独立（independence）——事件A和B，独立——如果，P(A∩B)=P(A)P(B)——即，B，发生，不影响，A，的，概率——独立性，是，概率论，的，核心概念——很多，模型，都，假设，独立——如，抛硬币，每次，独立。

随机变量与分布。 随机变量，将，随机试验，数量化——分布，描述了，随机变量，的，规律。

随机变量——随机变量（random variable）——X:Ω→R——它，将，每个，结果，对应，一个，数——如，掷骰子，X，是，点数——随机变量，使，我们，可以，用，数学，描述，随机现象。

分布——分布（distribution）——随机变量，的，概率规律——第一，离散分布。如，二项分布，泊松分布——第二，连续分布。如，正态分布，均匀分布——分布函数，F(x)=P(X≤x)——它，完整，描述了，随机变量。数学期望——数学期望（expectation）——E[X]——随机变量，的，平均值——它，是，随机变量，的，中心位置——方差——Var(X)=E[(X-E[X])²]——它，度量了，随机变量，的，离散程度。

概率论的历史——概率论，起源于，17世纪——帕斯卡，费马，讨论，赌博，问题——德·梅雷骑士，问，分赌注，问题——两人，赌博，中途，停止，如何，分，赌注？——帕斯卡，费马，通信，解决了，这个，问题——这，标志着，概率论，的，诞生——后来，伯努利，棣莫弗，拉普拉斯，系统，发展了，概率论——柯尔莫哥洛夫，1933年，用，测度论，建立了，概率论，的，公理体系——概率论，因此，成为，严格，的，数学分支。常见分布——第一，二项分布。n次，独立试验，成功，次数——第二，泊松分布。稀有事件，次数——第三，正态分布。连续，对称，分布——第四，指数分布。等待时间——这些，分布，各有，应用。

第二节　极限定理

极限定理，是，概率论，的，核心——它们，描述了，大量，随机现象，的，规律。

大数定律。 大数定律，说，大样本，平均，收敛到，期望。

大数定律——大数定律（law of large numbers）——独立同分布，随机变量，序列——样本平均，收敛到，期望——X̄ₙ=(X₁+…+Xₙ)/n→μ——当，n→∞。大数定律的意义——大数定律，解释了，为什么，频率，稳定于，概率——抛硬币，次数，越多，正面，比例，越，接近，1/2——这，是，大数定律，的，体现——它，为，概率，的，频率解释，提供了，理论基础——也是，统计学，的，基础——用，样本，估计，总体。

中心极限定理。 中心极限定理，说，大量，独立随机因素，的，和，近似，正态分布。

中心极限定理——中心极限定理（central limit theorem）——独立同分布，随机变量，序列——标准化，后，和，收敛到，标准正态分布——(X₁+…+Xₙ-nμ)/(σ√n)→N(0,1)——当，n→∞。中心极限定理的意义——中心极限定理，是，概率论，最，深刻，的，定理——它，解释了，为什么，正态分布，无处不在——身高，考试成绩，测量误差——都，近似，正态——因为，它们，都是，大量，微小，独立，因素，的，和——中心极限定理，为，正态分布，的，普遍性，提供了，理论基础——它，是，统计学，的，基石。

特征函数。 特征函数，是，概率论，的，分析工具——它，唯一，决定，分布。

特征函数——特征函数（characteristic function）——φ(t)=E[e^(itX)]——它，是，随机变量，的，傅里叶变换——特征函数，唯一，决定，分布——两个，随机变量，同分布，当且仅当，特征函数，相同。特征函数的意义——特征函数，将，概率论，与，分析学，联系了起来——极限定理，的，证明，用，特征函数——因为，独立和，的，特征函数，等于，特征函数，的，乘积——这，简化了，计算——特征函数，是，概率论，的，强大工具。

大数定律的意义——大数定律，是，概率论，的，基石——它，连接了，理论，与，实践——理论上，概率；实践上，频率——大数定律，保证了，频率，收敛到，概率——这，使得，概率，的，频率解释，成为，可能——也，使得，用，样本，估计，总体，成为，合理。中心极限定理的影响——中心极限定理，是，概率论，最，重要，的，定理——它，解释了，正态分布，的，普遍性——为什么，那么多，自然，现象，都，服从，正态分布——因为，它们，都是，大量，微小，独立，因素，的，和——这，是，中心极限定理，的，深刻之处——它，为，统计学，中的，参数估计，假设检验，提供了，理论基础。

第三节　随机过程

随机过程，是，随，时间，演化，的，随机变量——它，描述了，随机，动态，现象。

马尔可夫链。 马尔可夫链，是，最简单，的，随机过程——它，有，无后效性。

马尔可夫链——马尔可夫链（Markov chain）——随机过程，Xₙ——未来，只，依赖于，现在——不，依赖于，过去——即，P(Xₙ₊₁|Xₙ,Xₙ₋₁,…)=P(Xₙ₊₁|Xₙ)——这，就是，马尔可夫性。马尔可夫链的例子——第一，随机游走。第二，股票价格。第三，语言模型——每个，词，只，依赖于，前一个，词。稳态分布——马尔可夫链，在，一定条件下，收敛到，稳态分布——即，长期，分布，不依赖于，初始状态——这，是，马尔可夫链，的，重要性质——它，用于，统计物理，PageRank，等。

布朗运动。 布朗运动，是，连续时间，随机过程——它，描述了，随机，游走。

布朗运动——布朗运动（Brownian motion）——维纳过程——连续时间，随机过程，W(t)——独立增量，正态分布——W(t)~N(0,t)——布朗运动，是，连续，但，处处，不可导——它，路径，非常，不规则。布朗运动的意义——布朗运动，是，随机分析，的，基础——它，描述了，物理，中的，布朗运动——花粉，在，水中，的，随机，运动——爱因斯坦，1905年，用，布朗运动，证明了，原子，的，存在——这，是，物理学，的，重大事件。布朗运动，在，金融中，有，应用——布莱克—斯科尔斯模型，用，布朗运动，描述，股票价格。

鞅与随机分析。 鞅，是，公平游戏，的，数学化——随机分析，是，微积分，的，随机，版本。

鞅——鞅（martingale）——随机过程，Xₙ——在，已知，现在，和，过去，的，条件下，未来，的，期望，等于，现在——E[Xₙ₊₁|Xₙ,…]=Xₙ——鞅，描述了，公平游戏——赌场，中，每局，期望，为，零。

随机分析——随机分析（stochastic calculus）——伊藤积分——对，布朗运动，积分——伊藤公式——d f(W)=f’(W)dW+(1/2)f’'(W)dt——这，是，随机微积分，的，基本公式——随机分析，将，微积分，推广到，随机过程——它，在，金融数学，随机控制，中，有核心应用——布莱克—斯科尔斯，期权定价，就是，用，随机分析。

随机过程的应用——随机过程，有，广泛应用——第一，金融。股票价格，利率，期权定价——第二，通信。排队论，通信网络——第三，生物。种群动力学，随机模型——第四，物理。量子力学，统计力学——随机过程，是，描述，动态，随机，系统，的，数学——随着，数据科学，的，发展，随机过程，越来越，重要——机器学习，中的，贝叶斯方法，强化学习——都，与，随机过程，有关。

概率论与随机性——概率基础、极限定理、随机过程——介绍了概率论与随机性。概率基础，是，入门；极限定理，是，核心；随机过程，是，应用。概率论，从，赌博，问题，起源——帕斯卡，费马，讨论，分赌注，问题——发展到，今天，成为，一个，庞大，的，领域——它，在，统计学，金融，机器学习，物理，生物，中，有，广泛应用——随机性，是，世界，的，本质特征——概率论，就是，研究，随机性，的，数学——它，使我们，能够，定量地，描述，和，理解，不确定，的，世界。

第32章　数理统计与数据分析

数理统计，研究，数据，的，收集，分析，推断——数据分析，是，统计，的，应用。本章从统计推断、回归与模型、数据科学三个方面，介绍数理统计与数据分析。

第一节　统计推断

统计推断，从，样本，推断，总体——它，是，统计学，的，核心。

参数估计。 参数估计，从，样本，估计，总体，参数。

点估计——点估计（point estimation）——用，一个，数，估计，参数——如，用，样本均值，估计，总体均值——矩估计，最大似然估计——最大似然估计（MLE），是，最常用，的，点估计方法——它，找，使，观测数据，概率，最大，的，参数。

估计量的性质——第一，无偏性。期望，等于，真值——第二，有效性。方差，小——第三，一致性。样本，大时，收敛——这些，性质，评价，估计量，的，好坏。

假设检验。 假设检验，检验，关于，总体，的，假设。

假设检验——假设检验（hypothesis testing）——先，假设，原假设H₀——然后，看，数据，是否，与，H₀，矛盾——如果，矛盾，显著，就，拒绝，H₀。p值——p值，是，在，H₀，下，观测到，当前，或，更极端，数据，的，概率——p值，小，说明，数据，与，H₀，矛盾——通常，p<0.05，拒绝，H₀。第一类错误和第二类错误——第一类错误，拒真——H₀，真，却，拒绝；第二类错误，受伪——H₀，假，却，接受——检验，要，平衡，这，两类，错误。

置信区间。 置信区间，给出，参数，的，范围，估计。

置信区间——置信区间（confidence interval）——(a,b)——它，以，一定，置信水平（如，95%），包含，真值——置信区间，比，点估计，更，信息丰富——它，给出了，估计，的，不确定性。置信区间的意义——置信区间，量化了，估计，的，误差——它，告诉我们，参数，大概，在，什么，范围——在，数据分析，中，置信区间，比，p值，更，有意义——因为，它，直接，给出了，效应，大小，的，范围。

统计学的历史——统计学，起源于，17世纪——“国家学”（Statistik）——收集，国家，数据——后来，高斯，提出，最小二乘法——皮尔逊，费希尔，建立了，现代，数理统计——费希尔，在，1920年代，发展了，实验设计，方差分析——他，被，称为，统计学之父——奈曼，皮尔逊，发展了，假设检验，理论——统计学，从，描述，走向，推断——这，是，统计学，的，革命。t检验——t检验，是，最常用，的，假设检验——检验，均值，是否，等于，某个值——t分布，由，戈塞特，在，1908年，提出——他，以，“学生”，笔名，发表——因此，也叫，学生t分布——t检验，在，数据分析，中，无处不在。

第二节　回归与模型

回归分析，研究，变量，之间，的，关系——模型，是，对，数据，的，简化。

线性回归。 线性回归，是，最基本，的，统计模型。

线性回归——线性回归（linear regression）——y=β₀+β₁x+ε——它，假设，y，与，x，线性，相关——β₁，是，斜率——最小二乘法，估计，β——找，使，残差平方和，最小，的，β。线性回归的意义——线性回归，是，统计学，最，常用，的，方法——它，简单，可解释——很多，实际问题，都，可以，用，线性回归，近似——多元线性回归，多个，自变量——y=β₀+β₁x₁+…+βₚxₚ+ε——它，是，线性回归，的，推广。

广义线性模型。 广义线性模型，推广了，线性回归——它，处理，非连续，响应。

广义线性模型——广义线性模型（GLM）——线性回归，的，推广——响应变量，可以，是，二分类，计数，等——通过，联系函数，将，线性，预测子，映射到，响应——logistic回归，是，GLM，的，特例——用于，二分类——logistic回归，在，机器学习，中，有，广泛应用——如，信用评分，疾病预测。

贝叶斯统计。 贝叶斯统计，将，参数，视为，随机变量——它，用，贝叶斯公式，更新，信念。

贝叶斯统计——贝叶斯统计（Bayesian statistics）——参数θ，有，先验分布——观测，数据，后，用，贝叶斯公式，计算，后验分布——P(θ|data)∝P(data|θ)P(θ)——后验，结合了，先验，和，数据。贝叶斯统计的意义——贝叶斯统计，与，频率派，不同——频率派，认为，参数，固定；贝叶斯派，认为，参数，随机——贝叶斯方法，自然地，融合了，先验，知识，和，数据——它，在，机器学习，中，有，广泛应用——贝叶斯网络，贝叶斯优化——都是，贝叶斯，方法。

回归分析的历史——回归分析，由，高尔顿，在，19世纪，提出——他，研究，父母，身高，与，子女，身高，的，关系——发现，子女，身高，向，平均值，“回归”——因此，叫，回归——回归分析，后来，发展为，统计学，最，重要，的，方法——它，在，经济，社会，生物，中，有，广泛应用——多元回归，使，我们，可以，控制，混杂，变量——观察，净效应——这，是，观察性研究，的，重要，工具。

第三节　数据科学

数据科学，是，统计学，计算机科学，的，交叉——它，从，数据中，发现，知识。

机器学习数学。 机器学习，有，坚实，的，数学基础。

机器学习——机器学习（machine learning）——从，数据中，学习，规律——它，有，很多，数学，基础——第一，线性代数。特征，表示，权重——第二，概率论。不确定性，建模——第三，优化。损失函数，最小化——梯度下降。机器学习的意义——机器学习，是，人工智能，的，核心——它，改变了，很多，领域——图像识别，自然语言处理，推荐系统——机器学习，的，成功，依赖于，数学——没有，数学，就，没有，现代，机器学习。

高维统计。 高维统计，处理，高维数据——它，是，现代，统计学，的，前沿。

高维数据——高维数据——特征，数p，很大，甚至，超过，样本量n——这，是，现代，数据，的，特征——基因数据，文本数据，图像数据——都是，高维。高维统计的挑战——高维，带来了，新问题——第一，维数灾难。高维，空间，稀疏——第二，过拟合。模型，太，复杂，拟合，噪声——正则化，方法——Lasso，Ridge——用于，处理，高维——它们，在，损失函数，中，加入，惩罚项——防止，过拟合。高维统计的意义——高维统计，是，现代，数据科学，的，核心——随着，大数据，的，到来，高维，成为，常态——统计学，必须，发展，新，方法，应对，高维——这，是，统计学，的，新，前沿。

因果推断。 因果推断，从，数据中，发现，因果——它，是，统计学，的，前沿。

相关与因果——相关，不等于，因果——冰淇淋，销量，与，溺水，死亡，正相关——但，不是，因果——因为，夏天，热，两者，都，增加——混杂变量，导致，虚假，相关。

因果推断——因果推断（causal inference）——从，数据中，区分，因果，与，相关——随机对照试验（RCT），是，金标准——但，很多，时候，不能，做，RCT——观测数据，中，因果推断，用，匹配，工具变量，双重差分——这些，方法，在，经济学，社会学，医学，中，有，广泛应用。因果推断的意义——因果推断，是，统计学，的，新，前沿——21世纪，以来，因果推断，得到了，巨大发展——朱迪亚·珀尔，的，因果阶梯，理论——将，因果，分为，三层——关联，干预，反事实——因果推断，使，统计学，从，描述，走向，干预——这，是，统计学，的，深刻，革命。

数据科学的兴起——数据科学，是，21世纪，的，新兴领域——随着，互联网，和，传感器，的，发展，数据，爆炸式增长——传统，统计学，方法，不够用——需要，计算机科学，和，统计学，结合——数据科学，因此，兴起——它，包括，数据收集，清洗，分析，可视化，机器学习——数据科学家，需要，兼具，统计，编程，领域知识——这，是，新时代，的，要求。

数理统计与数据分析——统计推断、回归与模型、数据科学——介绍了数理统计与数据分析。统计推断，是，核心；回归与模型，是，工具；数据科学，是，现代发展。统计学，从，人口调查，起源——发展到，今天，成为，数据科学，的，核心——在，大数据，时代，统计学，比，以往，任何时候，都，重要——我们，生活在，数据，爆炸，的，时代——统计学，帮助我们，从，数据中，发现，知识——做出，决策——这，是，数据科学，的，本质。

第33章　计算数学与信息数学

计算数学，用，计算机，求解，数学问题——信息数学，研究，信息，和，计算，的，数学基础。本章从数值分析、优化、信息与计算三个方面，介绍计算数学与信息数学。

第一节　数值分析

数值分析，研究，数学问题，的，数值解法——它，是，计算机，与，数学，的，桥梁。

误差与稳定性。 误差，是，数值计算，的，核心问题——稳定性，是，算法，的，性质。

误差——误差（error）——数值解，与，真解，的，差——误差，来源——第一，模型误差。模型，本身，近似——第二，观测误差。数据，不准——第三，截断误差。方法，近似——第四，舍入误差。计算机，有限，字长。误差分析，就是，分析，这些，误差，的，传播。

稳定性——稳定性（stability）——算法，对，小误差，不敏感——如果，输入，小误差，导致，输出，大误差——算法，不稳定；否则，稳定。稳定性的意义——稳定性，是，数值算法，的，关键——不稳定，的，算法，即使，理论，正确——实际，计算，也，失败——如，解，线性方程组，中，病态，矩阵——高斯消元法，不稳定——需要，选主元——这，就是，稳定性，问题。

数值线性代数。 数值线性代数，研究，矩阵，计算，的，数值方法。

矩阵计算——数值线性代数，是，数值分析，的，核心——因为，很多，问题，最终，化为，矩阵计算——第一，解，线性方程组。高斯消元法，LU分解——第二，最小二乘。QR分解——第三，特征值。QR算法——数值线性代数，有，高效，算法——如，快速傅里叶变换（FFT）——将，DFT，复杂度，从，O(n²)，降到，O(n log n)——这，是，20世纪，最，伟大，的，算法，之一。

数值微分与积分。 数值微分和积分，用，数值方法，近似，计算。

数值积分——数值积分（numerical integration）——用，有限，个，点，近似，积分——如，梯形法，辛普森法——数值积分，简单，有效——因为，解析，积分，不总是，可能。数值微分——数值微分（numerical differentiation）——用，有限，差分，近似，导数——df/dx≈(f(x+h)-f(x))/h——数值微分，对，误差，敏感——因为，差分，放大，误差——这，是，数值微分，的，困难。

数值分析的历史——数值分析，随，计算机，兴起，发展——但，思想，很，古老——牛顿，就，有，数值，方法——高斯，最小二乘法——20世纪，计算机，出现，后，数值分析，成为，独立，学科——冯·诺依曼，等，开创了，现代，数值分析——今天，数值分析，是，科学计算，的，核心——天气预报，核模拟，航天设计——都，依赖，数值分析。

第二节　优化

优化，研究，在，一定，条件下，找，最优，解——它，是，应用数学，的，核心。

线性规划。 线性规划，是，最简单，的，优化问题——目标函数和约束，都是，线性。

线性规划——线性规划（linear programming）——min cᵀx，s.t. Ax≤b，x≥0——目标，线性；约束，线性——线性规划，有，很多，应用——生产计划，运输，投资。单纯形法——单纯形法（simplex method），由，丹齐格，在，1947年，提出——它，沿，可行域，顶点，移动，找，最优——单纯形法，实践，有效——但，理论上，指数，复杂度——内点法——内点法（interior point method），在，内部，找，路径——多项式，复杂度——它，是，线性规划，的，新，方法。

非线性优化。 非线性优化，目标函数或约束，非线性——它，更，一般。

非线性优化——非线性优化（nonlinear optimization）——min f(x)，s.t. g(x)≤0——f或g，非线性——非线性优化，更，难——但，更，一般。梯度下降——梯度下降（gradient descent）——沿，负梯度，方向，移动——x:=x-α∇f(x)——梯度下降，是，最，简单，的，优化算法——它，在，机器学习，中，有，核心应用——随机梯度下降（SGD），是，深度学习，的，基础。牛顿法——牛顿法，用，二阶信息——更快，收敛——但，需要，计算，海森矩阵——拟牛顿法，近似，海森——是，常用，方法。

凸优化。 凸优化，是，优化，的，特例——但，有，好，的，性质。

凸集与凸函数——凸集，集合中，任意，两点，连线，在，集合，中——凸函数，f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)——凸函数，局部最优，就是，全局最优。凸优化——凸优化（convex optimization）——目标，凸；可行域，凸——凸优化，的，重要性质——局部最优，就是，全局最优——没有，局部极小，陷阱——因此，凸优化，可解。凸优化的意义——凸优化，是，优化，的，核心——很多，问题，可以，转化为，凸优化——如，线性规划，二次规划——凸优化，在，机器学习，信号处理，中，有，广泛应用——因为，凸优化，有，高效，算法——且，保证，全局，最优。

优化的应用——优化，有，广泛，应用——第一，工程。结构设计，参数优化——第二，经济。投资组合，资源分配——第三，机器学习。损失函数，最小化——第四，运筹学。物流，调度——优化，是，决策，的，数学——在，资源，有限，下，找，最好，的，方案——这，是，优化，的，本质。

第三节　信息与计算

信息论，研究，信息，的，量化——可计算性，研究，什么，可计算。

信息论。 信息论，由，香农，创立——它，是，通信，的，数学基础。

信息熵——信息熵（entropy）——H(X)=-Σp(x)log p(x)——它，度量了，随机变量X，的，不确定度——熵，越大，越，不确定。互信息——互信息（mutual information）——I(X;Y)——它，度量了，X，和，Y，之间，的，信息，共享——互信息，对称。信道容量——信道容量（channel capacity）——C——它，是，信道，最大，可靠，传输，速率——香农定理——只要，速率，小于，容量——就，存在，编码，使，错误，任意，小——这，是，信息论，的，核心定理——它，揭示了，通信，的，极限。信息论的意义——信息论，由，香农，在，1948年，创立——它，是，数字通信，的，理论基础——没有，信息论，就，没有，现代，通信，互联网——信息论，还，影响了，统计学，机器学习——决策树，特征选择，都，用，信息论。

编码。 编码，将，信息，表示为，信号——它，是，通信，的，技术。

信源编码——信源编码，压缩，数据——去除，冗余——如，霍夫曼编码，算术编码——香农—范诺，定理，说，最优，压缩，率，等于，熵——这，是，数据压缩，的，极限。信道编码——信道编码，加入，冗余，纠错——如，汉明码，LDPC码——Turbo码——现代，通信，中，编码，非常，重要——4G，5G，卫星通信——都，用，先进，编码。

可计算性与复杂度。 可计算性，研究，什么，可计算——复杂度，研究，计算，需要，多少，资源。

图灵机——图灵机（Turing machine）——抽象，计算机——它，由，图灵，在，1936年，提出——它，定义了，可计算性——可计算，就是，图灵机，可计算——邱奇—图灵论题——直观，可计算，就是，图灵机，可计算——这，是，计算，的，基础。

P与NP——P，多项式时间，可解；NP，多项式时间，可验证——P=NP？——这，是，计算机科学，最重要，的，问题——克雷数学研究所，千禧年，大奖，问题——如果，P=NP，很多，难题，都，变，易——但，大多数，人，认为，P≠NP——NP完全问题——如，旅行商问题——是，NP中，最难，的——如果，一个，NP完全，问题，多项式，可解——则，P=NP。复杂度理论的意义——复杂度理论，研究，计算，的，内在，难度——它，告诉我们，哪些，问题，可解，哪些，不可解——这，是，计算机科学，的，基础——密码学，就，建立在，P≠NP，假设，之上——单向函数，需要，计算，容易，逆，难——这，依赖于，复杂度。

香农的贡献——香农（Claude Shannon，1916—2001），美国，数学家——他，1948年，发表，《通信，的，数学理论》——创立了，信息论——这，是，20世纪，最，重要，的，论文，之一——香农，因此，被，称为，信息论之父——他，还，在，二战，中，做了，密码学，工作——他，的，思想，奠定了，数字时代，的，基础——今天，我们，享受，的，数字通信，都，受益于，香农。

计算数学与信息数学——数值分析、优化、信息与计算——介绍了计算数学与信息数学。数值分析，是，计算机，与，数学，的，桥梁；优化，是，应用，核心；信息与计算，是，理论，基础。这些，领域，是，20世纪，以来，随着，计算机，兴起，发展，起来，的——它们，是，应用数学，的，主体——现代，科学，工程，都，依赖于，计算数学——天气预报，药物设计，经济模拟——都，用，计算机，数值，计算——信息数学，则，为，数字时代，提供了，理论，基础——信息论，编码，复杂度——它们，是，互联网，和，人工智能，的，数学，基础。

至此，第六卷（概率统计与离散数学），全部完成——从，组合数学，到，图论，到，概率统计，到，计算数学——离散，与，随机，的，世界，已经，展开——这些，领域，是，计算机科学，的，数学，基础——随着，信息时代，的，到来，它们，越来越，重要。

第34章　数学建模与实际问题

数学建模，将，实际问题，转化为，数学问题——它，是，数学，与，现实，的，桥梁。本章从建模方法、经典模型、建模哲学三个方面，介绍数学建模与实际问题。

第一节　建模方法

数学建模，有，一定，的，方法——它，是，连接，数学，与，现实，的，过程。

问题抽象。 问题抽象，是，建模，的，第一步——将，实际问题，转化为，数学问题。

问题抽象——问题抽象（problem abstraction）——从，杂乱，的，现实中，提取，关键，要素——忽略，次要，细节——如，人口模型——忽略，性别，年龄，只，考虑，总人口——这，是，抽象。抽象的意义——抽象，是，数学，的，本质——数学，研究，抽象，结构——建模，就是，将，现实，抽象为，数学——好，的，抽象，抓住，本质——忽略，噪音——这，是，建模，的，艺术。

假设与变量。 假设，简化，问题；变量，量化，要素。

假设——假设（assumption）——对，现实，做，简化，假设——如，人口，均匀，分布；增长，率，恒定——假设，使，问题，可解——但，也，使，模型，有，局限——好，的，假设，在，可解，与，真实，之间，平衡。

变量——变量（variable）——将，要素，量化——如，人口，时间——状态变量，描述，系统，状态；参数，描述，系统，性质；外生变量，外部，输入。变量，的，选择，很，关键——它，决定了，模型，的，维度，和，复杂度。

模型验证。 模型验证，检验，模型，是否，符合，现实。

模型验证——模型验证（model validation）——用，数据，检验，模型——第一，拟合。模型，是否，拟合，数据？——第二，预测。模型，是否，能，预测，未知？——第三，灵敏度。参数，变化，时，模型，是否，稳定？——验证，是，建模，的，关键——没有，验证，模型，只是，数学游戏。

建模的步骤——数学建模，一般，有，五步——第一，问题分析。理解，实际，问题——第二，模型假设。做，简化，假设——第三，模型建立。建立，数学，关系——第四，模型求解。用，数学，方法，求解——第五，模型分析。分析，结果，验证，模型——这，五步，循环——不断，改进，模型。建模竞赛——数学建模竞赛，如，美国，MCM/ICM——它，要求，团队，在，几天内，解决，一个，实际，问题——建模竞赛，培养，学生，的，综合，能力——问题分析，数学，编程，写作——这，是，应用数学，的，综合，训练。

第二节　经典模型

经典模型，是，经过，时间，检验，的，模型——它们，是，建模，的，典范。

人口与生态。 人口模型，描述，人口，变化；生态模型，描述，物种，相互作用。

Malthus模型——Malthus模型——指数增长——dP/dt=rP——假设，增长率，恒定——它，描述了，资源，无限，时，的，增长——但，现实，中，资源，有限。

Logistic模型——Logistic模型——dP/dt=rP(1-P/K)——K，是，环境容纳量——当，P，小时，指数增长；P，大时，减速——它，描述了，资源，有限，时，的，增长——S型，曲线。捕食者—猎物模型——Lotka-Volterra模型——描述，捕食者，和，猎物，的，周期，振荡——这，是，生态学，的，经典模型。

物理与工程。 物理模型，描述，自然现象；工程模型，设计，人工系统。

牛顿力学——F=ma——最，基本，的，物理，模型——它，描述了，力，与，运动，的，关系——一切，经典力学，都，建立在，牛顿定律，之上。麦克斯韦方程——麦克斯韦方程——描述，电磁场——四个，偏微分方程——统一了，电，磁，光——这，是，物理学，的，伟大，统一。薛定谔方程——薛定谔方程——描述，量子，行为——iℏ∂ψ/∂t=Ĥψ——它，是，量子力学，的，基本方程——工程模型——如，电路，的，基尔霍夫定律；结构，的，有限元——它们，将，物理，原理，应用于，工程。

经济与金融。 经济模型，描述，经济现象；金融模型，描述，金融市场。

供需模型——供给与需求——微观经济学，的，基本模型——价格，由，供给，和，需求，决定——均衡，时，供给=需求。Black-Scholes模型——Black-Scholes模型——期权定价——用，随机微分方程——它，是，金融数学，的，里程碑——使，期权交易，合理化。经济增长模型——Solow模型——描述，经济，长期，增长——资本，劳动，技术——它们，驱动，增长——这，是，宏观经济学，的，基础。

模型的层次——模型，有，层次——第一，白箱模型。机制，清楚——如，牛顿力学——第二，灰箱模型。部分，清楚——如，经济模型——第三，黑箱模型。机制，不清——如，机器学习——不同，层次，用，不同，方法——白箱，用，机理；黑箱，用，数据——建模者，要，根据，问题，选择。

第三节　建模哲学

建模哲学，思考，模型，与，现实，的，关系——它，是，建模，的，反思。

简化与近似。 模型，是，现实，的，简化——不是，现实，本身。

模型是简化——模型，是，现实，的，简化——它，不是，现实，本身——如，地图，不是，领土——地图，简化了，领土——但，有用——模型，也，如此——好，的，模型，简化，而，不，失真——抓住，本质——忽略，细节。近似的艺术——近似，是，建模，的，艺术——什么时候，该，近似？什么时候，必须，精确？——这，需要，判断——太，精确，模型，太，复杂，不可解；太，粗略，模型，失真——好，的，建模者，知道，什么时候，简化。

多模型比较。 复杂，问题，没有，唯一，模型——多模型，比较。

多模型——多模型（multi-model）——对，同一，问题，建，多个，模型——各有，优劣——比较，它们，的，结果——如果，多模型，一致——结论，可靠；如果，不一致——说明，问题，复杂，需要，更多，研究。集成模型——集成模型——结合，多个，模型，的，预测——如，机器学习，中的，随机森林——多模型，平均——比，单模型，更，稳健——这，是，现代，建模，的，趋势。

不确定性。 模型，有，不确定性——它，来自，参数，结构，数据。

不确定性——不确定性（uncertainty）——模型，预测，不，精确——有，误差——来源——第一，参数，不确定。参数，估计，有，误差——第二，结构，不确定。模型，形式，不对——第三，数据，不确定。数据，有，噪音——量化，不确定性——置信区间，概率分布——是，建模，的，重要，部分——好，的，模型，不仅，给，预测——还，给，不确定性。鲁棒性——鲁棒性（robustness）——模型，对，扰动，不，敏感——好，的，模型，鲁棒——即使，参数，小，变化，结论，不变——鲁棒，模型，更，可信。

All models are wrong——统计学家，Box，说，“All models are wrong, but some are useful”——所有，模型，都，错——但，有些，有用——这，句话，深刻地，概括了，建模，哲学——模型，不是，现实——它，是，现实，的，近似——关键，是，近似，是否，有用——好，的，模型，虽然，不，精确——但，抓住了，本质——能，指导，决策——这，就，够了——建模，不是，追求，完全，真实——而是，追求，有用。

数学建模与实际问题——建模方法、经典模型、建模哲学——介绍了数学建模与实际问题。建模方法，是，过程；经典模型，是，典范；建模哲学，是，反思。数学建模，是，应用数学，的，核心——它，将，数学，与，现实，联系，起来——纯数学，研究，抽象；应用数学，用，抽象，理解，现实——建模，就是，这个，过程——好，的，建模者，既，懂，数学——又，懂，现实——他，能，在，抽象，与，现实，之间，来回，穿梭——这，是，建模，的，艺术。

第35章　自然科学与工程中的数学

数学，是，自然科学，和，工程，的，语言——它，描述了，世界，的，规律。本章从物理数学、工程数学、生物医学三个方面，介绍自然科学与工程中的数学。

第一节　物理数学

物理，是，数学，的，最大，用户——数学，是，物理，的，语言。

经典力学。 经典力学，研究，宏观物体，的，运动——它，建立在，牛顿力学，之上。

牛顿力学——F=ma——牛顿第二定律——它，是，经典力学，的，核心——描述了，力，与，运动，的，关系——牛顿，用，微积分，和，引力定律，解释了，天体运动——这，是，科学革命，的，巅峰。拉格朗日力学——拉格朗日力学——用，变分原理——最小作用量原理——δS=0——它，更，优雅，更，一般——哈密顿力学——用，哈密顿量——相空间——它，更，适合，推广——经典力学，有，三种，形式——牛顿，拉格朗日，哈密顿——它们，等价——但，视角，不同。

量子力学。 量子力学，研究，微观世界——它，建立在，希尔伯特空间，之上。

薛定谔方程——iℏ∂ψ/∂t=Ĥψ——薛定谔方程——它，描述了，波函数，的，演化——波函数，模方，是，概率密度——量子力学，因此，是，概率，的——与，经典力学，的，决定论，不同。算符——量子力学，中，物理量，对应，算符——位置，动量，能量——它们，作用在，希尔伯特空间，上——测量，对应，算符，的，本征值——这，是，量子力学，的，数学框架——希尔伯特空间，和，算符，理论——这，是，泛函分析，的，物理，应用。量子力学的意义——量子力学，是，20世纪，物理学，的，革命——它，揭示了，微观世界，的，规律——半导体，激光，核磁共振——都，基于，量子力学——没有，量子力学，就，没有，现代，电子技术。

相对论。 相对论，研究，时空，和，引力——它，建立在，黎曼几何，之上。

狭义相对论——狭义相对论——光速，不变——时空，相对——时间膨胀，长度收缩——质能方程E=mc²——它，统一了，时间，和，空间——质能，和，能量。广义相对论——广义相对论——引力，不是，力——而是，时空，弯曲——物质，告诉，时空，如何，弯曲；弯曲，时空，告诉，物质，如何，运动——这，是，爱因斯坦，的，名言——广义相对论，用，黎曼几何，描述——爱因斯坦方程——G=8πT——它，将，几何，和，物理，统一——黑洞，引力波，宇宙大爆炸——都，基于，广义相对论。相对论的意义——相对论，改变了，我们，对，时空，和，引力，的，理解——它，是，现代，宇宙学，的，基础——GPS，卫星，必须，校正，相对论，效应——否则，定位，不准。

数学物理——数学物理，是，用，数学，研究，物理——它，是，数学，和，物理，的，交叉——从，牛顿，到，爱因斯坦——大物理学家，往往，也是，大数学家——牛顿，发明，微积分，为了，力学——高斯，研究，微分几何——黎曼，为了，物理——数学家，外尔，冯·诺依曼——都，对，物理，有，贡献——数学，和，物理，相互，促进——物理，提出，问题；数学，提供，工具。

第二节　工程数学

工程数学，将，数学，应用于，工程——它，是，工程，的，工具。

信号与系统。 信号与系统，研究，信号，处理——它，建立在，傅里叶分析，之上。

信号——信号（signal）——随，时间，变化，的，物理量——如，声音，图像，无线电——信号，处理，就是，加工，信号。傅里叶分析——傅里叶分析——将，信号，分解成，频率分量——时域，和，频域，转换——滤波，调制，压缩——都，基于，傅里叶分析——快速傅里叶变换（FFT），使，数字，信号处理，成为，可能。线性时不变系统——LTI系统——输入，输出，线性，时不变——用，卷积，描述——传递函数，用，频域，描述——信号与系统，是，通信，电子，工程，的，基础。

控制论。 控制论，研究，系统，的，控制——它，建立在，微分方程，之上。

反馈——反馈（feedback）——将，输出，反馈，到，输入——调节，系统——恒温器，就是，反馈——误差，驱动，控制——反馈，是，控制论，的，核心。传递函数——传递函数——Laplace变换，下，输入，输出，关系——G(s)——它，描述了，系统，的，动态——稳定性，用，极点，位置，判断——PID控制——比例，积分，微分——是，最，常用，的，控制器——它，简单，有效——在，工业，控制，中，无处不在。控制论的意义——控制论，由，维纳，在，1948年，创立——它，研究，动物，和，机器，中的，控制，与，通信——它，影响了，工程，生物，经济，社会——是，跨学科，的，领域。

计算流体。 计算流体力学（CFD），用，计算机，模拟，流体——它，是，数值，PDE。

Navier-Stokes方程——Navier-Stokes方程——描述，流体，运动——非线性，偏微分方程——它，极，难，解析，求解——因此，用，数值，方法。CFD——计算流体力学——将，流体，区域，离散化——网格——数值，求解，NS方程——在，每个，网格，点，上，近似——CFD，用于，飞机，设计，汽车，气动，天气，预报——它，替代了，部分，风洞，实验——节省，成本。

工程数学的范围——工程数学，范围，很，广——包括，线性代数，复变函数，积分变换，PDE，数值方法，概率论——它们，是，工程师，的，数学，工具箱——现代，工程，越来越，依赖，数学——航天，电子，通信，金融工程——都，需要，高深，数学——数学，不再，只是，物理，的，工具——它，也，是，工程，的，语言。

第三节　生物医学

生物数学，将，数学，应用于，生物——它，是，数学，和，生物学，的，交叉。

生物数学。 生物数学，用，数学，描述，生物，现象。

种群动力学——种群动力学——描述，种群，数量，变化——Logistic模型，捕食者—猎物模型——它们，简单，但，抓住了，本质。神经科学——神经元，模型——Hodgkin-Huxley模型——用，微分方程，描述，动作电位——它，解释了，神经，信号，如何，传递——这，是，计算，神经科学，的，基础。基因调控网络——基因，之间，相互，调控——用，网络，模型，描述——这，是，系统生物学，的，主题。

流行病模型。 流行病模型，描述，传染病，传播——它，在，公共卫生，中，有，重要，应用。

SIR模型——SIR模型——Susceptible（易感），Infected（感染），Recovered（康复）——三类，人群——用，微分方程，描述，传播——SIR模型，简单，但，抓住了，流行病，的，本质——基本，再生数R₀——一个，感染者，平均，传染，多少，人——R₀>1，流行；R₀<1，消退——这，是，流行病，控制，的，关键。流行病模型的意义——COVID-19，期间，流行病模型，被，广泛，使用——预测，疫情，趋势——评估，防疫，措施——数学模型，因此，进入了，公众，视野——它，帮助，决策者，理解，疫情——这，是，数学，服务，社会，的，范例。

系统生物学。 系统生物学，用，系统，方法，研究，生物——它，是，生物学，的，新，范式。

系统生物学——系统生物学（systems biology）——不，孤立，研究，基因，蛋白质——而，研究，它们，组成，的，系统——交互，网络——涌现，性质——这，与，传统，还原论，不同。数学模型——系统生物学，用，数学模型——基因，调控，网络——代谢，网络——信号，传导——用，常微分方程，随机，模型——模拟，系统，行为——预测，扰动，效果——这，是，精准，医疗，的，基础——理解，疾病，机制，开发，药物。

数学与生物学——数学，和，生物学，的，结合，越来越，紧密——20世纪，初，哈代，温伯格，用，数学，研究，群体，遗传——现在，生物信息学，计算，生物学，系统，生物学——都，需要，数学——DNA，序列，分析，蛋白质，折叠，脑，建模——这些，都是，数学，问题——保罗，拉迪斯洛，说，“生物学，需要，数学”——这，是，21世纪，生物学，的，趋势。

自然科学与工程中的数学——物理数学、工程数学、生物医学——介绍了自然科学与工程中的数学。数学，是，自然科学，的，语言——物理，最，典型——它，用，数学，描述，自然，规律——工程，将，数学，应用于，设计——生物，医学，用，数学，理解，生命——数学，从，自然，中来——又，回到，自然，中去——它，是，人类，理解，世界，的，最，有力，工具——伽利略，说，“自然，这部，大书，是，用，数学，语言，写成，的”——这，句话，至今，仍然，正确。

第36章　社会科学、经济与数据中的数学

数学，不仅，用于，自然科学——也，用于，社会科学，和，经济——数据时代，更，需要，数学。本章从经济数学、社会科学、数据时代三个方面，介绍社会科学、经济与数据中的数学。

第一节　经济数学

经济数学，将，数学，应用于，经济——它，是，经济学，的，科学化。

博弈论。 博弈论，研究，理性，决策者，之间，的，相互作用。

博弈——博弈（game）——参与者，策略，支付——每个，参与者，选择，策略——支付，依赖于，所有，参与者，的，策略——囚徒困境，是，经典，例子——个人，理性，导致，集体，非理性。纳什均衡——纳什均衡（Nash equilibrium）——没有，参与者，能，通过，单独，改变，策略，获益——纳什，证明了，任何，有限，博弈，都，有，纳什均衡——这，是，博弈论，的，核心定理——纳什，因此，获得，诺贝尔，经济学奖。博弈论的应用——博弈论，在，经济，政治，生物，中，有，广泛，应用——寡头，定价，拍卖，国际关系，演化，博弈——它，是，社会科学，的，数学，语言。

一般均衡。 一般均衡，研究，市场，整体，均衡——它，是，数理，经济学，的，核心。

瓦尔拉斯均衡——瓦尔拉斯，提出，一般，均衡，理论——所有，市场，同时，出清——价格，调节，使，供给=需求。阿罗—德布鲁定理——阿罗，德布鲁，严格，证明了，在，一定，条件下，一般，均衡，存在——这，是，数理，经济学，的，里程碑——它，用，不动点定理，证明——一般均衡，理论，为，市场，经济，提供了，数学，基础——同时，也，揭示了，其，局限。

金融数学。 金融数学，用，数学，描述，金融市场——它，是，应用数学，的，活跃，领域。

Black-Scholes模型——Black-Scholes模型——期权，定价——用，随机，微分，方程——假设，股票，价格，几何，布朗，运动——推导，期权，价格，公式——这，是，金融数学，的，革命——它，使，期权，交易，合理化——推动了，衍生品，市场，的，发展。投资组合理论——Markowitz，投资，组合，理论——均值，方差，分析——在，收益，和，风险，之间，权衡——这，是，现代，金融，的，基础——Markowitz，和，Sharpe，因此，获得，诺贝尔，奖。金融数学的意义——金融数学，在，华尔街，有，巨大，需求——量化，分析师，用，数学，和，计算机，分析，市场——开发，交易，策略——金融数学，是，数学，最，赚钱，的，应用——但，2008年，金融危机，也，暴露了，金融，模型，的，局限。

数学与经济学——数学，和，经济学，的，结合，越来越，紧密——19世纪，古诺，瓦尔拉斯，用，数学，研究，经济——20世纪，萨缪尔森，将，数学，全面，引入，经济学——现在，经济学，顶级，期刊，几乎，全是，数学——诺贝尔，经济学奖，很多，颁给，数学家——纳什，康托罗维奇——经济学，因此，变得，越来越，形式化——但，也，有人，批评，数学，模型，脱离，现实——2008年，危机，就是，例子——数学，是，工具——不是，教条。

第二节　社会科学

数学，进入，社会科学——它，使，社会科学，更，精确。

社会网络。 社会网络，研究，人，之间，的，关系——它，用，图论。

社会网络——社会网络（social network）——人，是，顶点；关系，是，边——这，就是，图——社会网络，分析，用，图论，方法——中心性，社区，发现——弱连接，强度——Granovetter，提出，弱连接，理论——找，工作，靠，弱，关系——这，是，社会学，的，经典，发现。社会网络的意义——社交，媒体，兴起，后，社会网络，数据，爆炸——脸书，推特——大规模，网络，数据——使，社会网络，分析，进入，新时代——信息，传播，舆论，动力学——都，用，数学，模型。

投票与选择。 投票理论，研究，选举，规则——它，是，社会选择，理论。

阿罗不可能定理——阿罗，不可能，定理——没有，一种，投票，规则，能，同时，满足，几个，合理，条件——即，不存在，完美，的，投票，制度——这，是，深刻，的，结果——它，表明，民主，没有，完美，方案——只有，权衡。投票规则——多数制，比例，代表，决选，投票——不同，规则，有，不同，性质——社会选择，理论，研究，它们——这，是，数学，和，政治学，的，交叉。

计量经济。 计量经济，用，统计，方法，分析，经济，数据——它，是，经济学，的，实证，方法。

回归分析——计量经济，主要，用，回归，分析——解释，变量，和，被解释，变量——控制，混淆，变量——估计，因果，效应——工具，变量，双重，差分——这些，方法，从，观测，数据，中，识别，因果——这，是，计量，经济，的，核心。面板数据——面板，数据——跨，时间，和，个体——控制，个体，固定，效应——时间，固定，效应——这，是，计量，经济，的，常用，方法——它，使，观察性，研究，更，可信。

社会科学的数学化——社会科学，长期，被，认为，是，"软"科学——但，数学，正在，改变，这一点——社会，网络，分析，实验，经济，计算，社会科学——用，数学，和，计算机，研究，社会——这，使，社会科学，更，精确，更，可重复——但，社会，现象，复杂——不像，物理，有，简单，定律——数学，模型，在，社会，中，更，是，隐喻——不是，定律——这，是，社会，科学，数学化，的，局限。

第三节　数据时代

数据时代，改变了，数学，的，应用——大数据，人工智能，隐私——是，新，挑战。

大数据。 大数据，指，海量，数据——它，超出，传统，方法，处理，能力。

大数据——大数据（big data）——4V——Volume（量大），Velocity（快），Variety（多样），Value（低价值密度）——大数据，需要，新，方法——传统，统计，假设，样本，随机——大数据，是，全量——但，噪音，也，大——需要，新，算法，和，思维。大数据的应用——大数据，在，推荐，系统，广告，风控，医疗，中，有，广泛，应用——它，改变了，很多，行业——但，大数据，也，带来，问题——隐私，偏见，垄断——需要，技术，和，政策，共同，应对。

人工智能数学。 人工智能，有，坚实，的，数学，基础——它，是，数学，的，新，应用。

机器学习——机器学习，从，数据，中，学习——它，的，数学，基础——第一，线性代数。表示，数据——第二，概率论。建模，不确定性——第三，优化。训练，模型——深度学习——多层，神经网络——用，梯度，下降，训练——它，在，图像，语音，自然，语言，上，取得，突破——但，深度学习，的，数学，理论，还，不完备——为什么，深度学习，有效？——这，是，开放，问题。AI数学的意义——AI，是，21世纪，的，技术，革命——它，的，基础，是，数学——没有，数学，就，没有，AI——数学家，在，AI，发展中，有，重要，作用——可解释性，鲁棒性，公平性——这些，都是，数学，问题。

隐私与伦理。 数据时代，带来，伦理，问题——隐私，公平，责任——需要，数学，和，伦理，共同，应对。

差分隐私——差分隐私（differential privacy）——一种，隐私，保护，技术——它，保证，查询，结果，不，泄露，单个，个体，信息——通过，加，噪声——差分隐私，有，严格，数学，定义——它，在，苹果，谷歌，中，有，应用——这，是，隐私，保护，的，数学，基础。算法公平——算法，公平——机器学习，模型，可能，有，偏见——对，特定，群体，不公平——需要，数学，方法，检测，和，缓解——公平性，度量，约束——这，是，算法，公平，领域——它，是，数学，和，伦理，的，交叉。责任——AI，决策，出错——谁，负责？——这，是，法律，和，伦理，问题——数学，家，有，责任——确保，模型，可靠，透明——这，是，数据，时代，的，职业，伦理。

数据时代的数学——数据，时代，为，数学，提供了，新，舞台——同时，也，提出，新，问题——大数据，不，需要，随机，采样——全量，分析——但，统计，显著性，的，逻辑，变了——深度学习，有效——但，理论，不清——隐私，保护，需要，新，数学——这些，都是，开放，问题——21世纪，的，数学家，不仅，要，研究，纯，数学——还要，应对，数据，世界，的，挑战——这，是，数学，的，新，机遇。

社会科学、经济与数据中的数学——经济数学、社会科学、数据时代——介绍了社会科学、经济与数据中的数学。数学，从，自然科学，扩展到，社会科学——经济，博弈论，金融——社会，网络，投票，计量——数据，时代，更，需要，数学——大数据，AI，隐私——数学，不再，只是，自然科学，的，工具——它，也是，社会，和，人文，的，工具——这，是，数学，的，社会，化——同时，数据，时代，也，向，数学，提出，新，问题——这，是，数学，的，新，前沿。

至此，第七卷（应用与建模），全部完成——数学，从，理论，走向，应用——从，物理，到，工程，到，经济，社会——数学，无处不在——它，是，现代，社会，的，隐形，基础设施——我们，享受的，现代，文明——背后，都，有，数学。

第37章　问题发现与猜想提出

数学创造，始于，问题——发现，好，问题，比，解决，问题，更，重要。本章从问题来源、猜想方法、问题选择三个方面，介绍问题发现与猜想提出。

第一节　问题来源

数学问题，从，哪里，来？——内部矛盾，交叉应用，推广与特殊化。

内部矛盾。 数学，内部，矛盾，驱动，发展——悖论，危机，解决。

悖论——悖论（paradox）——看似，正确，的，推理，导致，矛盾——如，罗素悖论——集合论，悖论——它，动摇了，数学，基础——引发了，第三次，数学，危机——为了，解决，悖论——发展了，公理，集合论——这，推动了，数学，基础，研究。

危机——数学，危机——如，无理数，发现，第一次，危机——微积分，基础，第二次，危机——集合论，悖论，第三次，危机——每次，危机，都，推动，数学，严格化——无理数，危机，推动，几何，公理，化；微积分，危机，推动，分析，严格化；集合论，悖论，推动，数学，基础，研究——危机，不是，坏事——它，是，数学，发展，的，动力。内部矛盾的意义——数学，内部，矛盾，是，纯，数学，发展，的，主要，动力——数学家，不，需要，外部，问题——内部，矛盾，就，够了——康托尔，自己，发现，集合论，悖论——但，他，不，担心——因为，悖论，推动，发展——这，是，纯，数学，的，特点。

交叉应用。 交叉，领域，产生，新，问题——数学，与，其他，学科，交叉。

应用问题——应用，提出，问题——物理，提出，PDE；经济，提出，博弈论；生物，提出，网络，模型——这些，问题，反过来，推动，纯，数学，发展——PDE，推动，分析；博弈论，推动，拓扑；网络，推动，组合——应用，是，数学，的，源泉。交叉领域——交叉，领域——数学，物理，交叉——数学，生物，交叉——数学，计算机，交叉——这些，交叉，产生，新，数学，分支——如，弦论，推动，代数，几何；系统，生物，推动，动力，系统——交叉，是，创新，的，沃土。

推广与特殊化。 推广，和，特殊化，是，发现，问题，的，方法——从，已知，到，未知。

推广——推广（generalization）——将，定理，推广到，更，一般，情况——如，费马，大定理——从，n=3,4，推广到，所有n——推广，是，数学，发展，的，重要，方式——将，特例，一般化——得到，更，深刻，定理。特殊化——特殊化（specialization）——将，一般，问题，特殊化——先，解决，特例——再，解决，一般——如，研究，一般，流形——先，研究，曲面；研究，一般，群——先，研究，置换，群——特殊化，使，问题，可，处理。推广与特殊化的意义——推广，和，特殊化，是，数学家，的，思维，方法——在，一般，和，特殊，之间，来回——推广，看到，统一；特殊，看到，具体——这，是，数学，发现，的，技巧。

问题的重要性——希尔伯特，说，“提出，问题，就，等于，解决，了，一半”——好，问题，本身，就，有，价值——它，引导，研究——很多，问题，即使，没，解决——也，推动了，数学——因为，为了，解决，它，发明了，新，方法——费马，大定理——为了，解决，它，发展了，代数，数论——这，比，定理，本身，更，重要。

第二节　猜想方法

猜想，是，数学，发现，的，第一步——归纳，类比，直觉，美学，实验。

归纳与类比。 归纳，从，例子，找，规律；类比，从，相似，找，联系。

归纳——归纳（induction）——观察，几个，例子——找，规律——提出，猜想——如，哥德巴赫，猜想——观察，偶数，都，可，表为，两，素数，和——归纳，出，猜想——归纳，不，证明——但，提出，问题。

类比——类比（analogy）——两个，对象，相似——将，一个，的，性质，推广到，另一个——如，有限维，向量，空间，类比，到，无穷维——巴拿赫，空间；代数，类比，到，拓扑——同调，代数——类比，是，数学，发现，的，强大，方法——它，使，我们，从，已知，领域，过渡到，未知，领域。

直觉与美学。 直觉，和，美学，引导，数学家——简单，深刻，意外。

直觉——直觉（intuition）——不，经过，严格，推理——直接，看到，真理——数学家，靠，直觉，提出，猜想——庞加莱，说，直觉，是，数学，的，创始人——逻辑，只是，证明，工具——直觉，提出，问题。美学——数学，美学——简单，深刻，对称，意外——数学家，相信，美，的，定理，是，真，的——如，欧拉，公式e^(iπ)+1=0——它，美——因此，真——狄拉克，说，让，方程，美——比，让，它，符合，实验，更，重要——美学，引导，发现。

实验数学。 实验，数学，用，计算机，做，实验——发现，规律。

实验数学——实验，数学（experimental mathematics）——用，计算机，计算，大量，例子——观察，规律——提出，猜想——这，是，新，方法——过去，数学，靠，纸，笔；现在，靠，计算机——如，素数，分布——计算，大量，素数——观察，规律——Riemann，猜想，就，有，数值，证据——实验，不，证明——但，发现，猜想。实验数学的意义——计算机，改变了，数学，研究——数学家，可以，做，实验——像，物理，家，一样——这，扩展了，数学，发现，的，范围——很多，深刻，猜想，来自，实验——这，是，数学，的，新，范式。

庞加莱的洞察——庞加莱，是，直觉，大师——他，说，数学，是，一门，给，不同，事物，起，相同，名字，的，艺术——直觉，和，类比，在，其中，起，关键，作用——庞加莱，描述了，他，的，创造，过程——潜意识，工作——突然，灵感——这，是，数学，创造，的，心理——美学，和，直觉，引导，潜意识。

第三节　问题选择

不是，所有，问题，都，值得，做——选择，好，问题，是，重要，的。

重要性与可行性。 好，问题，既，重要，又，可行。

重要性——重要，问题——解决了，影响，大——如，Hilbert，23，问题——千禧年，大奖，问题——它们，推动，整个，数学，发展——研究，重要，问题——即使，没，解决——也，推动，领域。

可行性——可行，问题——在，当前，工具，下，可，解决——太，难，的，问题——可能，几百年，没，人，解决——需要，选择，难度，合适，的——太，易，没，意思；太，难，做，不动——好，的，问题，“在，可及，范围，内”——这，是，数学家，的，判断。

长期纲领。 大，数学家，有，长期，纲领——引导，领域，发展。

Hilbert纲领——Hilbert，在，1900年，提出，23，个，问题——引导，了，20世纪，数学——很多，问题，被，解决——推动了，数学，发展——Hilbert，纲领，影响，巨大。Langlands纲领——Langlands，纲领——将，数论，和，表示论，联系——它，是，21世纪，数学，的，大，纲领——很多，数学家，在，这个，纲领，下，工作——Wiles，证明，Fermat，大定理——就是，Langlands，纲领，的，一部分——长期，纲领，统一，了，领域——给，研究，方向。

合作交流。 数学，越来越，合作——交流，产生，新，问题。

合作——合作（collaboration）——现代，数学，论文，很多，是，合作，的——单，人，论文，越来越，少——因为，问题，越来越，复杂——需要，不同，专长——合作，产生，新，思想——交流，激发，问题。会议——会议，和，研讨班——数学家，聚在一起——报告，讨论——产生，新，问题——这，是，学术，交流，的，价值——很多，合作，始于，会议。

数学家的成长——年轻，数学家，选，问题，很，关键——跟，导师——选，导师，做，的，问题——保证，可解——同时，学习，领域——成熟，后，可以，选，更，大，的，问题——好，的，导师，指导，学生，选，合适，问题——这，是，传承——问题，选择，反映了，数学家，的，品味——好，品味，是，数学家，的，重要，素质。

问题发现与猜想提出——问题来源、猜想方法、问题选择——介绍了问题发现与猜想提出。问题，是，数学，研究，的，起点——发现，好，问题，是，创造，的，第一步——内部，矛盾，驱动，纯，数学；交叉，应用，带来，新，问题；归纳，类比，直觉，美学，引导，猜想——选择，好，问题，既，要，重要——又，要，可行——长期，纲领，统一，方向；合作，交流，激发，思想——数学，创造，不是，凭空，产生——它，有，方法，有，传统，有，共同体。

第38章　证明建构与理论创造

证明，是，数学，的，核心——理论，是，数学家，的，创造。本章从证明策略、理论建构、创造心理三个方面，介绍证明建构与理论创造。

第一节　证明策略

证明，有，策略——化归，构造，不变量。

化归。 化归，将，未知，问题，转化为，已知，问题。

化归——化归（reduction）——将，A，问题，转化为，B，问题——如果，B，可解——则，A，可解——这，是，数学，证明，的，基本，策略——如，解析，几何——将，几何，问题，转化为，代数，问题——用，坐标，计算——化归，使，我们，利用，已知，工具，解决，未知，问题。化归，的，例子——哥尼斯堡，七桥——转化为，图论，问题——欧拉，解决——这，是，化归——将，实际，问题，转化为，数学，模型。

构造。 构造，直接，给出，例子——证明，存在性。

构造证明——构造（construction）——直接，构造，出，满足，条件，的，对象——证明，存在性——如，证明，存在，无理数a,b，使，a^b，有理——构造性证明，比，非构造性证明，更，具体——它，不仅，证明，存在——还，给出，例子。构造，的，意义——构造性，证明，在，计算机，时代，更，重要——因为，它，给出，算法——可以，实现——如，证明，一个，问题，可解——构造出，算法——这，是，计算，数学，的，精神。

不变量。 不变量，在，变化，中，保持，不变——它，证明，不可能。

不变量——不变量（invariant）——在，变换，下，保持，不变，的，量——如果，两个，状态，有，不同，不变量——则，不能，从，一个，变到，另一个——如，棋盘，覆盖——黑白，格，数量——是，不变量——证明，某些，覆盖，不可能。不变量，的，例子——代数，拓扑，中，同调群，是，不变量——两个，空间，如果，不同，胚——则，同调群，不同——这，证明了，它们，不同——不变量，是，证明，不可能性，的，强大，工具。

证明的方法——除了，化归，构造，不变量——还有，很多，证明，方法——归纳法——递归，结构——反证法——假设，反面，导出，矛盾——类比——从，已知，到，未知——这些，方法，在，第12章，已，讲——这里，强调，策略——证明，不仅，是，逻辑——更，是，策略——选，对，策略——证明，就，成功，一半。

第二节　理论建构

理论，建构——定义，公理，定理，统一——它，是，数学，的，系统化。

定义与公理。 定义，和，公理，是，理论，的，起点。

定义——定义（definition）——精确，描述，概念——如，群，环，域——好，的，定义，抓住，本质——排除，无关——定义，不是，任意——它，从，具体，例子，抽象——经过，时间，检验。公理——公理（axiom）——不，证明，的，基本，假设——如，欧几里得，公设——ZFC，公理——公理，是，理论，的，起点——从，公理，出发，推出，定理——公理，不是，自明——它，是，约定——选择，不同，公理，得到，不同，理论——如，非欧几何。定义与公理的意义——好，的，定义，和，公理，是，理论，的，基础——它们，决定了，理论，的，范围，和，力量——历史，上，很多，伟大，理论——从，好，的，定义，开始——如，群，的，定义，统一了，很多，代数，结构。

猜想与定理。 猜想，提出，问题——定理，解决，问题。

猜想——猜想（conjecture）——未，证明，的，命题——如，Riemann，猜想——P≠NP——猜想，引导，研究——很多，研究，围绕，著名，猜想——即使，没，解决——也，推动，理论。定理——定理（theorem）——已，证明，的，命题——它，是，数学，的，成品——从，猜想，到，定理——需要，证明——这，是，数学，研究，的，主要，工作——证明，猜想，是，数学家，的，荣耀。

统一框架。 大，理论，统一，不同，领域——它，是，数学，的，综合。

统一框架——统一，框架——将，不同，领域，统一，在，一个，理论，下——如，Galois，理论，统一，了，代数，方程，和，群论——Langlands，纲领，统一，了，数论，和，表示论——统一，框架，揭示，深层，联系——它，是，数学，的，最高，成就。布尔巴基——布尔巴基，学派——用，结构，统一，数学——代数，结构，序结构，拓扑结构——他们，写，《数学，原本》——系统化，数学——这，是，统一，的，尝试——虽然，今天，看来，过于，形式化——但，影响，深远。

公理化的意义——公理化，是，希腊，数学，的，伟大，创造——欧几里得，《几何，原本》——从，公理，出发，推出，定理——这，建立了，演绎，体系——20世纪，希尔伯特，计划，将，所有，数学，公理化——虽然，哥德尔，不完备，定理，否定了，希尔伯特，计划——但，公理化，精神，仍，影响，深远——现代，数学，很多，分支，都，公理化——如，概率，测度，空间。

第三节　创造心理

数学，创造，不仅，是，逻辑——也，有，心理，和，风格。

灵感与坚持。 灵感，突然，到来——但，需要，长期，坚持。

灵感——灵感（inspiration）——突然，想到，关键，想法——庞加莱，描述——他，研究，Fuchs，函数——长期，没，进展——突然，踩，踏板，时——想到，定义，与，非欧几何，相同——灵感，到来——灵感，看似，突然——其实，是，长期，思考，的，结果。坚持——坚持（persistence）——数学，研究，需要，长期，坚持——Wiles，证明，Fermat，大定理——七年，秘密，工作——中间，遇到，很多，困难——但，坚持——最后，成功——灵感，只，光顾，有，准备，的，头脑——这，句，话，深刻——没有，长期，坚持——灵感，不会，来。

错误与修正。 错误，是，研究，的，一部分——从，错误，中，学习。

错误——研究，中，错误，难免——证明，有，漏洞——猜想，错了——定理，不，成立——重要，的，是，发现，错误——修正——从，错误，中，学习——很多，深刻，结果——从，错误，中，来——如，Poincaré，最初，以为，三体，问题，可解——结果，发现，混沌——这，是，错误，带来，的，新，发现。修正——修正，错误——使，理论，更，严密——数学，就是，在，错误，和，修正，中，发展——不，怕，错——怕，不，承认，错——诚实，是，数学家，的，美德。

风格形成。 数学家，有，个人，风格——它，反映，思想，方式。

风格——数学，家，有，风格——有的，构造；有的，抽象；有的，具体；有的，一般——如，Erdős，多产，合作；Gromov，深刻，几何；格罗滕迪克，抽象，统一——风格，反映，思想，方式——也，影响，领域。风格，的，意义——风格，使，数学，有，人性——数学，不是，冰冷，的，逻辑——它，有，人，的，温度——每个，数学家，有，独特，声音——这，是，数学，的，人文，面——读，大，数学家，的，著作——不仅，学，数学——也，感受，风格——这，是，乐趣。

数学创造的本质——数学，创造，不是，简单，的，逻辑，推理——它，是，理性，和，非理性，的，结合——直觉，先，行——逻辑，后，证——灵感，突然——但，长期，准备——错误，难免——修正，进步——风格，各异——这，是，数学，创造，的，真实，过程——了解，这个，过程——对，学习，数学，有，帮助——不，怕，难——不，怕，错——坚持——灵感，会，来。

证明建构与理论创造——证明策略、理论建构、创造心理——介绍了证明建构与理论创造。证明，有，策略——化归，构造，不变量——理论，建构——定义，公理，猜想，定理，统一——创造，心理——灵感，坚持，错误，风格——数学，创造，是，理性，和，直觉，的，结合——逻辑，证明——但，发现，靠，直觉——灵感，和，坚持——错误，和，修正——风格，和，个性——这，是，数学，创造，的，完整，图景。

第39章　数学结构与统一

结构，是，现代，数学，的，核心——统一，是，数学，的，追求。本章从结构思想、统一纲领、数学之美三个方面，介绍数学结构与统一。

第一节　结构思想

结构，是，数学，的，本质——同构，函子，等价。

同构。 同构，是，结构，相同——它，是，结构，思想，的，核心。

同构——同构（isomorphism）——两个，结构，之间，保持，运算，的，双射——如，两个，群，同构——则，它们，在，结构，上，相同——只是，元素，名字，不同——同构，表明，两个，对象，本质，相同——研究，一个，就，够了。同构，的，意义——同构，是，抽象，的，精髓——我们，不，关心，元素，具体，是什么——只，关心，结构——如，整数，加群，和，偶数，加群，同构——虽然，集合，不同——但，结构，相同——同构，使，我们，看到，不同，对象，的，共同，本质。

函子。 函子，是，范畴，之间，的，映射——它，保持，结构。

函子——函子（functor）——从，一个，范畴，到，另一个，范畴，的，映射——保持，对象，和，态射——函子，是，范畴论，的，核心——它，描述，不同，数学，结构，之间，的，联系——如，基本，群，函子——从，拓扑，空间，到，群——这，建立，了，拓扑，和，代数，的，联系。函子，的，意义——函子，使，我们，能，从，一个，领域，看，另一个——同调，代数——用，代数，研究，拓扑——就是，用，函子——函子，是，现代，数学，的，统一，语言。

等价。 等价，比，同构，更，灵活——它，是，现代，观点。

范畴等价——范畴，等价（equivalence of categories）——两个，范畴，之间，有，函子，互为，逆——但，不，严格，相等——只是，自然，同构——等价，比，同构，更，灵活——现代，数学，更，喜欢，等价，而非，相等——因为，结构，才，重要——具体，对象，不，重要——如，范畴，论，中，我们，只，关心，到，等价——这，是，结构，思想，的，极致。

范畴论的意义——范畴论（category theory），由，Eilenberg，MacLane，在，1940年代，创立——最初，为了，代数，拓扑——后来，成为，统一，语言——它，不仅，研究，对象——更，研究，对象，之间，的，关系——态射——这，是，结构，思想，的，极致——Grothendieck，用，范畴论，革命，了，代数，几何——范畴论，被，称为，“数学，的，数学”——它，研究，数学，结构，本身。

第二节　统一纲领

历史上，有，几个，大，统一，纲领——它们，试图，统一，数学。

希尔伯特纲领。 希尔伯特，试图，将，所有，数学，公理化——证明，无矛盾。

希尔伯特纲领——希尔伯特，纲领——20世纪，初——希尔伯特，提出——将，所有，数学，形式化——用，有限，方法，证明，形式系统，无矛盾——这样，数学，就，有了，坚实，基础——哥德尔，不完备，定理——否定了，这个，纲领——任何，足够，强，的，形式系统——都，有，不可，判定，命题——且，不能，在，系统，内，证明，自身，无矛盾——希尔伯特，纲领，失败——但，推动了，数理，逻辑，发展。

布尔巴基纲领。 布尔巴基，用，结构，统一，数学。

布尔巴基——布尔巴基（Bourbaki）——法国，数学家，集体——1930年代，开始——写，《数学，原本》——用，结构，统一，数学——代数，结构，序结构，拓扑结构——它们，是，母结构——其他，结构，由，它们，复合——布尔巴基，影响，巨大——改变了，数学，教育——但，也，有，批评——过于，抽象，忽略，历史，和，应用——今天，布尔巴基，风格，仍，有，影响。

朗兰兹纲领。 朗兰兹，纲领，统一，数论，和，表示论——它，是，当代，最大，纲领。

朗兰兹纲领——朗兰兹，纲领（Langlands program）——1967年，朗兰兹，提出——它，猜想，数论，中，的，伽罗瓦，表示——对应，于，分析，中，的，自守，形式——这，连接，了，两个，看似，无关，领域——Wiles，证明，Fermat，大定理——就是，朗兰兹，纲领，的，一部分——朗兰兹，纲领，是，21世纪，数学，的，大，统一，方向——很多，数学家，在，这个，纲领，下，工作——它，被，称为，“数学，的，大，统一，理论”。

统一的意义——数学，追求，统一——表面，上，不同，的，领域——深层，有，联系——统一，不仅，简化，知识——更，揭示，本质——如，解析，几何——统一，代数，和，几何——复分析——统一，分析，和，几何——这些，统一，带来，巨大，进步——21世纪，朗兰兹，纲领，是，新，统一——它，将，数论，和，表示论，联系——如果，实现——将，是，数学，史，上，最，大，统一。

第三节　数学之美

数学，有，美——简洁，深刻，意外。

简洁。 简洁，是，美——用，简单，语言，表达，深刻，真理。

简洁——简洁（simplicity）——好，的，数学，结果——形式，简单——如，欧拉，公式e^(iπ)+1=0——将，五个，常数，联系——简洁，优美——高斯，说，证明，应，简洁——像，诗——简洁，不是，简陋——而是，去掉，多余——直达，本质——这，是，数学，美，的，一面。

深刻。 深刻，是，美——揭示，深层，联系。

深刻——深刻（profundity）——好，的，定理——揭示，深层，联系——如，Gödel，不完备——揭示，形式，系统，的，局限——Galois，理论——揭示，方程，和，群，的，联系——深刻，的，定理——改变，我们，看，数学，的，方式——它，不仅，是，结果——更是，视角——这，是，数学，美，的，核心。

意外。 意外，是，美——出人，意料。

意外——意外（unexpectedness）——好，的，结果，出人，意料——如，素数，定理——素数，分布，和，ζ函数，联系——谁，能，想到？——多面体，欧拉，公式V-E+F=2——简单，但，深刻——意外，带来，惊喜——这，是，数学，发现，的，乐趣——庞加莱，说，“数学，是，给，不同，事物，起，相同，名字，的，艺术”——这，种，意外，联系——就是，美。

数学家与美——很多，大，数学家——为了，美，而，研究——哈代，《一个，数学家，的，自白》——说，数学，的，价值——在于，美——他，不，关心，应用——只，关心，美——Weyl，说，“我的，工作，总是，试图，将，真，和美，统一——如果，必须，选择——我，选择，美”——数学，美——是，纯粹，的，精神，享受——这，是，数学，的，人文，面。

数学结构与统一——结构思想、统一纲领、数学之美——介绍了数学结构与统一。结构，思想——同构，函子，等价——关注，结构，而非，元素——统一，纲领——希尔伯特，布尔巴基，朗兰兹——历史，上，大，统一，尝试——数学，之美——简洁，深刻，意外——数学，不仅，是，工具——也是，艺术——它，有，美——这，是，数学家，热爱，数学，的，原因——为了，美——而，研究，数学——这，是，纯粹，的，动机。

第40章　数学流派与风格

数学，有，流派，和，风格——它们，反映，不同，思想，传统。本章从历史流派、现代风格、个人风格三个方面，介绍数学流派与风格。

第一节　历史流派

数学，基础，方面，有，流派——公理，构造，直觉。

公理派。 公理派，认为，数学，是，形式系统——从，公理，推导。

公理派——公理派（formalism）——希尔伯特，为，代表——认为，数学，是，形式系统——符号，按，规则，操作——真理，就是，系统，内，可证——公理派，试图，将，数学，严格，公理化——哥德尔，不完备，定理，打击了，公理派——但，公理化，方法，仍，影响，深远。公理派，的，特点——强调，严格，形式，基础——认为，数学，没有，意义——只是，符号，游戏——这，是，极端，观点——但，推动了，数理，逻辑。

构造派。 构造派，认为，数学，对象，必须，构造——不，承认，排中律。

构造派——构造派（constructivism）——布劳威尔，为，代表——认为，数学，对象，必须，构造——存在，就是，构造——不，承认，排中律——即，不，承认，A，或，非A，必有一真——构造派，反对，反证法——尤其，反对，用，反证法，证明，无穷，对象，存在——构造派，在，主流，数学，中，不，占，优势——但，在，计算机，科学，中，有，影响——因为，构造，就是，算法。

直觉派。 直觉派，认为，数学，基于，直觉——不是，形式。

直觉派——直觉派（intuitionism）——庞加莱，为，先驱——认为，数学，真理，基于，直觉——不是，逻辑——直觉，先于，证明——逻辑，只是，表达——直觉派，强调，数学，创造，中，直觉，的，作用——这，与，公理派，对立——直觉派，更，接近，数学，实践——因为，数学家，确实，靠，直觉，工作。

基础争论——20世纪初，数学，基础，危机——集合论，悖论——引发了，基础，争论——公理派，构造派，直觉派——三派，争论——哥德尔，不完备，定理——表明，没有，完美，基础——但，争论，推动了，数理，逻辑——今天，基础，争论，不再，激烈——主流，数学家，做，日常，工作——不，担心，基础——因为，数学，实践，证明，有效。

第二节　现代风格

现代，数学，有，不同，风格——代数，几何，分析。

代数风格。 代数风格，抽象，结构，统一。

代数风格——代数，风格——用，代数，结构，统一——如，群，环，域——范畴论——它，特点——抽象，一般——追求，统一——格罗滕迪克——代数，几何，革命——就是，代数，风格，的，极致——用，层，概型，统一——代数，风格，影响，整个，现代，数学——从，代数，到，拓扑，到，数论。

几何风格。 几何风格，直观，图形，几何。

几何风格——几何，风格——用，几何，直观——图形——曲线——空间——它，特点——具体，直观——追求，图像——高斯，黎曼——微分，几何——庞加莱——拓扑——几何，风格，强调，直观——但，现代，几何，也，很，抽象——如，流形，纤维，丛——几何，风格，在，拓扑，微分，几何，中，占，主导。

分析风格。 分析风格，估计，不等式，精细。

分析风格——分析，风格——用，估计，不等式——精细，计算——它，特点——技术，精细——追求，精确——牛顿，柯西——分析学——调和，分析，PDE——分析，风格，强调，估计——在，分析，中，好，的，估计，就是，结果——分析，风格，在，分析学，中，占，主导——它，更，接近，应用——因为，应用，需要，具体，估计。

风格的融合——现代，数学，越来越，融合——代数，几何，分析，不再，截然，分开——如，算术，几何——用，代数，几何，分析，方法——研究，数论——朗兰兹，纲领——融合，数论，表示论——几何——它，是，跨，风格，的——大，数学，家——往往，精通，多种，风格——如，庞加莱——拓扑，分析，数学，物理——风格，融合——是，现代，趋势。

第三节　个人风格

数学家，有，个人，风格——问题，选择，证明，表达。

问题选择。 数学家，选择，问题——反映，品味。

问题选择——有的，数学家，选，大，问题——如，Hilbert，23，问题——有的，选，小，问题——但，解决，彻底——Erdős——多，小，问题——到处，合作——Wiles——一个，大，问题——七年，秘密，工作——问题，选择，反映，风格——有的，广博；有的，精深——没有，好坏——只有，适合。

证明风格。 证明，也，有，风格——有的，构造；有的，抽象。

证明风格——有的，数学家，证明，构造——直接，给出，对象——有的，抽象——用，一般，理论——Gauss——证明，简洁，优美——“去掉，脚手架，的，建筑”——他，的，证明，无懈可击，但，看不出，怎么，想到——Erdős——从，“书”，中，取出——最，优美，证明——证明，风格，反映，思想——读，大，数学家，的，证明——如，欣赏，艺术。

表达与教学。 表达，和，教学——也，有，风格。

表达——有的，数学家，写，得，清楚——如，Landau——他，的，教材——简洁，严格——有的，晦涩——如，Grothendieck——他，的，书，庞大，抽象——需要，耐心——教学——有的，教师，激发，学生——有的，严格，训练——好，的，教学，影响，深远——很多，学生，因为，好，老师，而，进入，数学——表达，和，教学——是，数学家，的，公共，面——它们，影响，下一代。

数学的人文面——数学，不仅，是，定理——也是，人，的，创造——有，流派，有，风格——有，个人——读，数学史——看，大，数学家——他们，的，个性——他们，的，选择——他们，的，错误——这，使，数学，有，人性——数学，不是，冰冷，的，逻辑——它，是，人类，精神，的，最高，创造——了解，流派，和，风格——让，我们，更，完整，地，理解，数学。

数学流派与风格——历史流派、现代风格、个人风格——介绍了数学流派与风格。历史，流派——公理，构造，直觉——它们，关于，数学，基础——现代，风格——代数，几何，分析——它们，关于，研究，方法——个人，风格——问题，证明，表达——它们，关于，个人，特点——数学，不是，统一，的，声音——它，有，不同，流派，和，风格——正是，这种，多样，使，数学，丰富——不同，风格，相互，补充——推动，数学，发展——了解，流派，和，风格——帮助，我们，理解，数学，的，人文，面——数学，不仅，是，定理——也是，人，的，创造。

至此，第八卷（数学创造与研究），全部完成——从，问题发现，到，证明建构，到，结构统一，到，流派风格——数学，创造，的，图景，已经，完整——数学，不仅，是，知识——更是，活动——人的，活动。

第41章　数学哲学基本问题

数学，不仅，是，技术——也，有，哲学——数学，对象，真理，无限——都是，哲学，问题。本章从数学对象、真理与证明、无限与基础三个方面，介绍数学哲学基本问题。

第一节　数学对象

数学，对象，是，什么？——柏拉图主义，形式主义，直觉主义。

柏拉图主义。 柏拉图主义，认为，数学，对象，客观，存在——独立，于，人。

柏拉图主义——柏拉图主义（Platonism）——数学，对象，如，数，集合——客观，存在——在，理念，世界——数学家，发现，它们——不是，发明——如，素数，无限——在，人类，出现，之前，就，真——柏拉图主义，是，大多数，数学家，的，自然，立场——工作，时，他们，觉得，自己，在，发现——客观，真理。柏拉图主义，的，困难——如果，数学，对象，在，理念，世界——我们，如何，认识，它们？——因果，关系？——这，是，认识论，困难——而且，数学，对象，抽象——不，占，空间——如何，与，物理，世界，联系？——这些，问题，困扰，哲学家。

形式主义。 形式主义，认为，数学，是，形式，系统——符号，游戏。

形式主义——形式主义（formalism）——希尔伯特，为，代表——数学，是，形式，系统——无意义，符号——按，规则，操作——真，就是，可证——数学，对象，没有，客观，存在——只是，符号——形式主义，试图，将，数学，建立在，有限，基础，上——哥德尔，不完备，定理，打击了，形式主义——但，形式主义，的，影响，仍，在——尤其，在，计算机，科学，中——程序，就是，符号，操作。

直觉主义。 直觉主义，认为，数学，基于，人的，直觉——构造。

直觉主义——直觉主义（intuitionism）——布劳威尔，为，代表——数学，对象，是，心智，构造——不，独立，于，人——存在，就是，构造——不，承认，排中律——尤其，对，无穷——直觉主义，强调，数学，的，主观，面——它，是，人的，创造——不是，客观，发现——直觉主义，在，主流，中，不，占，优势——但，在，计算机，科学，中，有，影响——因为，构造，就是，算法。

数学对象的争论——数学，对象，是，实在——还是，构造？——这个，问题，从，柏拉图，就，开始——至今，没有，定论——但，它，影响，数学，实践——如果，柏拉图主义——则，数学，有，客观，真理——研究，就是，发现——如果，形式主义——则，数学，是，游戏——研究，就是，玩——不同，观点，导致，不同，态度——但，实践，中，大多数，数学家——默认，柏拉图主义——因为，它，激励，研究。

第二节　真理与证明

数学，真理，是，什么？——证明，如何，保证，真理？

真理符合论。 真理，符合，事实——但，数学，事实，是，什么？

真理符合论——真理，符合，论——命题，真——当，且，仅，当，符合，事实——数学，命题，如，2+2=4——符合，什么，事实？——物理，事实？——不——数学，事实，是，抽象，事实——如果，柏拉图主义——则，符合，理念，世界——如果，形式主义——则，没有，符合——只是，系统，内，定理——数学，真理，的，本质——仍然，争议。

证明的社会性。 证明，不仅，是，逻辑——也，是，社会，行为。

证明的社会性——证明，写，出来——要，被，同行，接受——才，算，证明——历史，上，很多，“证明”——后来，发现，有，漏洞——因为，它们，没，经过，严格，检验——今天，数学，共同体——审稿，讨论——保证，证明，正确——证明，是，社会，过程——不是，个人，直觉——这，是，数学，可靠性，的，来源——很多，人，检查——错误，难，隐藏。

计算机证明。 计算机，开始，证明，定理——改变了，证明，概念。

计算机证明——计算机，证明（computer-assisted proof）——用，计算机，检查，大量，情况——如，四色，定理——阿佩尔，哈肯，1976年——用，计算机，检查，1936，种，情况——证明了，四色，定理——这，是，第一个，计算机，证明，的，大，定理——争议——人，无法，手动，检查——算，证明，吗？——今天，计算机，证明，越来越，多——如，开普勒，猜想——有限，单群，分类——计算机，改变了，证明，概念——证明，不，再，完全，人，写——人，和，机器，合作。

证明的演变——证明，概念，历史，演变——希腊，几何，证明——演绎，严格——中世纪，经院，证明——逻辑，推理——现代，公理化，证明——形式，系统——计算机，证明——机器，辅助——证明，越来越，严格——但，也，越来越，复杂——四色，定理——人，无法，手动，检查——这，提出，新，问题——什么，是，证明？——证明，是，说服，同行——还是，形式，推导？——这，是，哲学，问题。

第三节　无限与基础

无限，是，数学，哲学，的，核心——集合论，悖论，哥德尔。

集合论悖论。 集合论，悖论，动摇了，基础——罗素，悖论。

罗素悖论——罗素，悖论（Russell’s paradox）——所有，不，包含，自身，的，集合，的，集合——R={x|x∉x}——R∈R？——如果，R∈R——则，按，定义，R∉R——如果，R∉R——则，按，定义，R∈R——矛盾——罗素，悖论，动摇了，朴素，集合论——引发了，第三次，数学，危机——为了，解决——发展了，公理，集合论——限制，集合，形成——排除，矛盾，集合。

哥德尔定理。 哥德尔，不完备，定理，揭示了，形式，系统，的，局限。

哥德尔不完备定理——哥德尔，不完备，定理（Gödel’s incompleteness theorems）——1931年——第一定理——任何，足够，强，的，一致，形式，系统——有，不可，判定，命题——即，既，不能，证明——也，不能，证伪——第二定理——这样，的，系统——不能，在，系统，内，证明，自身，一致——哥德尔，定理，否定了，希尔伯特，计划——它，表明，数学，不可能，完全，形式化——总有，真理——在，系统，外——哥德尔，定理，深刻——它，揭示了，理性，的，局限——理性，不能，完全，证明，自身——这，有，哲学，意义。

基础选择。 数学，基础，没有，唯一，答案——选择，依赖，目的。

基础选择——今天，数学，基础，没有，统一，答案——ZFC，是，主流——但，也，有，其他——构造，演算——同伦，类型，论——它们，各有，优劣——选择，哪个，基础——依赖，目的——如果，做，经典，数学——ZFC；如果，做，计算机，数学——构造，系统——基础，不是，唯一——它，是，工具——为，不同，目的，服务——这，是，实用，主义，观点——数学，基础，争论，不，影响，日常，数学——因为，数学家，不，关心，基础——他们，做，具体，问题。

哥德尔的意义——哥德尔，不完备，定理——不仅，是，数学，结果——也是，哲学，事件——它，表明，理性，有，局限——没有，完美，公理，系统——这，对，希尔伯特，的，乐观，主义——是，打击——但，哥德尔，本人，是，柏拉图主义——他，认为，不完备，定理——表明，数学，真理，超越，形式，系统——这，是，深刻，的，哲学——理性，不是，一切——但，理性，追求，无限。

数学哲学基本问题——数学对象、真理与证明、无限与基础——介绍了数学哲学基本问题。数学，对象，是，什么？——柏拉图主义，形式主义，直觉主义——真理，是，什么？——符合论，社会，性，计算机，证明——无限，和，基础？——悖论，哥德尔，基础，选择——这些，问题，没有，最终，答案——但，它们，让，我们，更，深，地，思考，数学——数学，不仅，是，工具——它，也，是，哲学——思考，数学，本质——让，我们，不，仅仅，是，计算，机器——而是，有，反思，的，思想者。

第42章　数学教育与修学次第

数学，需要，学习——教育，体系，教学，法，素养——都是，数学，传承，的，方式。本章从教育体系、教学法、数学素养三个方面，介绍数学教育与修学次第。

第一节　教育体系

数学，教育，分，阶段——启蒙，中学，大学。

启蒙教育。 启蒙，教育，培养，数感——兴趣。

启蒙——启蒙，教育——幼儿，小学——数数，简单，计算——重点，不是，计算，速度——而是，数感，和，兴趣——让，孩子，觉得，数学，有趣——不，怕，数学——坏，的，启蒙——逼，孩子，刷题——让，孩子，恨，数学——这，是，灾难。好，的，启蒙——用，游戏，故事——让，孩子，自然，感受，数——形状——规律——培养，好奇心。

中学教育。 中学，教育，系统，学习——代数，几何，函数。

中学——中学，数学——算术，代数，几何，函数——它们，是，基础——中学，教育，的，重点——是，思维，训练——不是，死记——理解，概念——掌握，方法——中学，数学，是，分水岭——有的，学生，觉得，数学，难——因为，从，具体，到，抽象——需要，思维，转变——好，的，老师——帮助，学生，完成，这个，转变。

大学教育。 大学，教育，专业，训练——分析，代数，几何。

大学——大学，数学——数学，分析，高等，代数，解析，几何——它们，是，专业，基础——大学，数学，和，中学，完全，不同——严格，证明——抽象，概念——需要，新，思维——很多，学生，不，适应——好，的，大学，教育——引导，学生，从，计算，到，证明——从，具体，到，抽象——这，是，质变。

数学教育的问题——今天，数学，教育，有，问题——应试，教育——刷题——学生，会，考试——但，不，理解——失去，兴趣——很多，人，讨厌，数学——这，是，教育，失败——好，的，数学，教育——培养，思维——不是，训练，机器——这，需要，改革——从，应试，到，素质——这，是，长期，任务。

第二节　教学法

教学，法，有，方法——问题，驱动，直观，严格，探究。

问题驱动。 问题，驱动——从，问题，出发——不是，从，定义。

问题驱动——问题，驱动，教学——从，有趣，问题，出发——引出，概念——如，从，牛顿，冷却，定律——引出，微分，方程——从，最，速降线——引出，变分法——问题，驱动，让，学生，知道——为什么，学——概念，不是，凭空——而是，为了，解决，问题——这，激发，动机。

直观与严格。 直观，和，严格，平衡——先，直观——后，严格。

直观——直观，帮助，理解——几何，直观——图像——例子——先，让，学生，感受——再，严格，证明——如，导数——先，切线，速度，直观——再，ε-δ，严格——严格，必要——但，不能，只有，严格——没有，直观——学生，只见，树木，不见，森林——平衡，直观，和，严格——是，教学，艺术。

探究式学习。 探究，式，学习——学生，自己，发现。

探究式——探究，式，学习——老师，不，直接，讲——而是，引导，学生，自己，发现——如，让，学生，自己，推导，公式——自己，发现，定理——探究，式，学习，慢——但，深——学生，真正，理解——而不是，记住——这，是，素质，教育，的，理想——但，需要，好，老师，和，小班。

学习数学的方法——学习，数学，需要，方法——第一，理解，概念——不要，死记——第二，做，题——但，不是，题海——而是，精做——每道，题，想，透——第三，读书——读，经典——不是，只，看，教材——第四，交流——和，同学，老师，讨论——这些，方法——帮助，真正，掌握，数学。

第三节　数学素养

数学，素养——不是，计算，能力——而是，思维，方式。

数感。 数感——对，数，的，直觉。

数感——数感（number sense）——对，数，大小，关系，运算——的，直觉——如，估计——100万，有，多大？——小数，和，大数——相对，大小——数感，好，的，人——对，数量，有，直觉——不，需要，精确，计算——就，能，判断——这，是，数学，素养，的，基础。

逻辑。 逻辑——推理，能力。

逻辑——逻辑（logic）——推理——前提，结论——因果——识别，谬误——逻辑，使，我们，清晰，思考——不，被，误导——数学，训练，逻辑——证明，题——就是，逻辑，训练——逻辑，素养，使，我们，理性——这，在，信息，时代——尤其，重要——因为，充满，谬误，宣传。

建模。 建模——将，现实，转化为，数学。

建模——建模（modeling）——将，实际，问题——抽象，为，数学——假设——变量——方程——求解——验证——建模，能力——使，数学，有用——不是，纸上，谈兵——而是，解决，实际，问题——建模，素养——在，数据，时代——越来越，重要——因为，我们，每天，面对，数据——需要，建模，思维。

终身学习——数学，学习，不是，学校，结束——而是，终身——数学，发展，快——需要，终身，学习——而且，数学，思维——终身，有用——无论，从事，什么，职业——理性，思维，都，帮助——数学，素养——是，现代，公民，的，基本，素养——它，使，我们，在，复杂，世界——清晰，思考。

数学教育与修学次第——教育体系、教学法、数学素养——介绍了数学教育与修学次第。教育，体系——启蒙，中学，大学——分，阶段——教学，法——问题，驱动，直观，严格，探究——方法——数学，素养——数感，逻辑，建模——目标——数学，教育——不是，培养，计算，机器——而是，培养，理性，思维——和，解决，问题，能力——这，是，数学，教育，的，真正，目的。

第43章　数学传承与共同体

数学，是，社会，活动——师徒，学派，共同体——它们，传承，数学。本章从师徒与学派、文献与传播、数学共同体三个方面，介绍数学传承与共同体。

第一节　师徒与学派

师徒，传承——学派，发展——会议，交流。

导师。 导师，指导，学生——传承，知识。

导师——导师（advisor）——博士，导师——指导，研究——选择，问题——方法——论文——好，的，导师——不仅，教，知识——更，教，品味——什么，问题，重要——什么，证明，优美——这，是，传承——导师，和，学生——是，数学，共同体，的，基本，单位——很多，大，数学家——有，伟大，导师——也，培养，伟大，学生。

学派。 学派——一群，人——围绕，一个，领袖——一个，方向。

学派——学派（school）——如，布尔巴基，学派——哥廷根，学派——莫斯科，数学，学派——学派，有，风格——传统——标准——它们，影响，深远——学派，培养，人才——定义，方向——学派，之间，也，竞争——不同，风格——推动，发展。

会议。 会议——数学家，聚在一起——报告，讨论。

会议——会议（conference）——学术，会议——报告，新，结果——讨论，问题——建立，合作——会议，是，数学，共同体，的，脉搏——新，思想——在，会议，首次，传播——论文，发表，慢——会议，快——年轻，人，通过，会议——被，认识——这，是，职业，发展，的，重要，部分。

师承传统——数学，有，深厚，的，师承，传统——学生——继承，导师——的，方向——风格——问题——形成，学派——如，费马，—拉格朗日，—柯西——传承——这，是，数学，发展，的，方式——一代，一代，积累——站在，巨人，肩膀——这，是，学术，传承。

第二节　文献与传播

文献——论文，教材，开源——传播，数学。

论文。 论文——发表，研究——交流。

论文——论文（paper）——研究，结果——写成，论文——发表，在，期刊——这，是，数学，交流，的，正式，形式——论文，需要，严格——证明，完整——审稿，保证，质量——但，论文，越来越，长——越来越，多——一个，人，读，不完——这，是，信息，过载——摘要，综述——帮助，导航。

教材。 教材——系统，教学——传承。

教材——教材（textbook）——系统，整理，领域——供，学习——好，的，教材——清晰——深刻——如，Courant，《微积分，和，数学，分析，引论》——很多，人，通过，它——进入，数学——教材——是，入门，的，门——好，教材——影响，几代——坏，教材——劝退，学生——教材，写作——是，重要，贡献。

开源。 开源——软件，代码——公开。

开源——开源（open source）——数学，软件——如，SageMath——Python，库——代码，公开——共享——这，改变了，数学，工具——以前，数学家，自己，写，程序——现在，用，开源——开源，促进，了，计算，数学——也，促进，了，合作——论文，预印本——arXiv——开放，获取——改变，了，传播——这些，都是，新，趋势。

数学的传播——数学，知识——通过，各种，媒介——传播——书——论文——讲座——现在，还有，网络——视频——博客——这些，新，形式——让，数学，更，开放——更多，人，接触——但，也，有，问题——质量，参差——需要，辨别——好，的，传播——让，数学，走向，公众——这，是，数学，普及。

第三节　数学共同体

数学，共同体——合作，竞争，伦理。

合作。 合作——共同，研究——现代，数学，合作，多。

合作——合作（collaboration）——现代，数学，论文——很多，是，合作——因为，问题，复杂——需要，不同，专长——合作，产生，新，思想——跨，领域——合作，也，有，社会，性——交流，激发——Erdős——以，合作，多，著名——他，和，500，多人，合作——这，是，极端——但，反映，趋势。

竞争。 竞争——争先——优先权。

竞争——竞争（competition）——数学家，竞争——第一个，解决，问题——优先权——科学，发现——优先权，重要——因为，荣誉——也，有，争议——谁，先，证明——历史，上，很多，优先权，争论——牛顿，莱布尼茨——但，竞争，也，推动——因为，想，争先——努力，工作——这，是，共同体，的，动力。

伦理。 伦理——诚实——不，造假。

伦理——伦理（ethics）——数学，研究，伦理——诚实——不，造假——不，剽窃——错误，公开——承认——数学，是，真理，追求——如果，造假——破坏，整个，共同体——伦理，靠，共同体，维持——审稿，引用，荣誉——激励，诚实——数学家，一般，诚实——因为，结果，要，被，检验——造假，难，隐藏。

数学共同体的理想——数学，共同体——是，理性，的，共同体——追求，真理——没有，国界——没有，种族，歧视——只，认，证明——这，是，理想——虽然，现实，中，也，有，偏见——但，理想，是，进步，方向——数学，共同体——是，人类，共同，财富——它，超越，国家——文化——这，是，数学，的，崇高。

数学传承与共同体——师徒与学派、文献与传播、数学共同体——介绍了数学传承与共同体。数学，不是，孤立，活动——它，在，共同体，中，师徒，传承——学派，发展——会议，交流——文献，传播——合作，竞争——伦理，维持——数学，共同体——是，特殊，的，共同体——追求，真理——以，证明，为，语言——它，跨越，国界，文化——因为，数学，真理——普遍——这，是，数学，共同体，的，理想——理性，的，共同体。

至此，第九卷（数学哲学、教育与传承），全部完成——从，哲学——到，教育——到，共同体——数学，不仅，是，知识——也是，人的，活动——社会，的，活动——这，让，数学，更，完整。

第44章　数学家的综合素养

数学家，需要，素养——知识，思维，人格——它们，成就，数学家。本章从知识结构、思维品格、人格与创造三个方面，介绍数学家的综合素养。

第一节　知识结构

数学家，知识，结构——广博，专精，跨学科。

广博。 广博——广，泛，知识。

广博——广博（breadth）——不仅，懂，自己，方向——还，了解，其他，领域——数学，大，统一——不同，领域，相互，联系——广博，使，我们，看到，联系——发现，新，问题——如，庞加莱——横跨，分析，拓扑，物理——广博，带来，视野——但，广博，不是，浅——而是，在，专精，基础，上，广博。

专精。 专精——深入，一个，领域。

专精——专精（depth）——在，自己，方向——深入——成为，专家——现代，数学，庞大——一个，人，不可能，全懂——必须，专精——专精，使，我们，做出，原创，贡献——只，广博，不，专精——是，业余——专精，是，必要——但，只，专精，不，广博——也，会，局限。

跨学科。 跨学科——不同，学科，交叉。

跨学科——跨学科（interdisciplinary）——现代，大，问题——跨，学科——如，数学，物理——数学，生物——数学，计算机——跨学科，需要，广博——和，沟通——能力——大，数学，家——往往，跨，学科——如，冯·诺依曼——数学，物理，计算机——跨学科，带来，创新——因为，新，领域——在，交叉，处。

知识结构的演变——数学家，知识，结构——随，年龄，变化——年轻，时——专精——深入——成熟，后——广博——看到，大，图景——如，希尔伯特——早期，专精，问题——后期，公理化，纲领——知识，结构——应该，动态——不是，固定。

第二节　思维品格

思维，品格——好奇，严谨，坚持。

好奇。 好奇——对，世界，的，惊奇。

好奇——好奇（curiosity）——对，数学，问题——好奇——想，知道，为什么——这，是，数学家，的，第一，动力——不是，为了，名利——而是，好奇——如，高斯——小时候，算，1+2+…+100——好奇——好奇，驱动，探索——没有，好奇——就，没有，研究——好奇，是，内在，动机——它，持续。

严谨。 严谨——严格，证明。

严谨——严谨（rigor）——不，含糊——每，一步——都，要，证明——不，凭，直觉——严谨，是，数学，的，美德——它，保证，可靠——但，也，不，要，过度——严格，应，服务，理解——不是，形式——好，的，数学家——严谨——但，也，有，直觉——严谨，和，直觉——平衡。

坚持。 坚持——长期，工作。

坚持——坚持（persistence）——数学，研究——难——长期——需要，坚持——如，Wiles，七年——秘密，工作——费马，大定理——中间，很多，失败——但，坚持——最终，成功——坚持，是，必要——因为，大，问题——需要，时间——没有，坚持——就，没有，大，成果。

思维品格的培养——思维，品格——不是，天生——而是，培养——好奇——通过，好，问题——严谨——通过，严格，训练——坚持——通过，长期，研究——这些，品格——可以，培养——也，可以，失去——好，的，环境——培养，它们——坏，的，环境——扼杀，它们。

第三节　人格与创造

人格，与，创造——诚实，合作，审美。

诚实。 诚实——承认，错误。

诚实——诚实（honesty）——不，造假——承认，错误——数学，中，错误，难免——重要，的，是，承认——公开——从，错误，学习——不，掩饰——因为，掩饰，会，被，发现——而且，损害，声誉——诚实，是，数学，家，的，基本，美德——它，是，信任，的，基础。

合作。 合作——与，人，合作。

合作——合作（cooperation）——现代，数学——合作，多——需要，交流——分享——不，嫉妒——合作，带来，新，思想——也，带来，快乐——合作，能力——很，重要——尤其，对，年轻，人——不要，孤立——要，开放。

审美。 审美——数学，美。

审美——审美（aesthetics）——对，数学，美，的，感受——简洁，深刻，意外——数学家，靠，审美，指导——选，问题——选，证明——如，哈代——为，美，而，研究——审美，使，数学，不仅，是，技术——也是，艺术——它，让，研究，有，乐趣——这，是，数学家，的，内在，动力。

数学家的理想——数学家——理想——追求，真理——和美——如，Hardy——说，数学家——的，工作——是，创造性，的，思想——不是，实用——这种，理想——激励，了，很多，人——虽然，数学，也，有，应用——但，纯粹，的，追求——仍然，崇高——它，让，数学，家——超越，功利——走向，自由。

数学家的综合素养——知识结构、思维品格、人格与创造——介绍了数学家的综合素养。知识，结构——广博，专精，跨学科——思维，品格——好奇，严谨，坚持——人格，与，创造——诚实，合作，审美——这些，素养——共同，成就，一个，数学家——数学，不仅，是，智力——也是，人格——好，数学家——不仅，聪明——而且，有，品格——这，是，全面，发展。

第45章　数学境界阶位

数学，学习，有，阶位——技艺，艺术，道境——它们，由，浅，入，深。本章从技艺阶位、艺术阶位、道境阶位三个方面，介绍数学境界阶位。

第一节　技艺阶位

技艺——技术，层面——入门，精通，名家。

入门。 入门——掌握，基础。

入门——入门（beginner）——掌握，基础，概念——能，解，常规，问题——如，学会，微积分——能，算，导数，积分——入门，是，起点——不是，终点——入门，需要，学习——和，练习——很多，人，停在，入门——但，这，只是，开始。

精通。 精通——技术，纯熟。

精通——精通（proficient）——技术，纯熟——能，解，困难，问题——理解，深——不，只会，算——还，理解——为什么——精通，是，大多数，职业，数学，家——的，水平——他们，能，做，研究——但，还，没，有，自己，方向。

名家。 名家——有，个人，风格。

名家——名家（master）——有，个人，风格——在，领域，有，贡献——被，认可——名家——是，成功，数学，家——他们，有，自己，学生——自己，方向——但，还，没，改变，领域。

技艺阶位的意义——技艺，阶位——是，数学，学习，的，基础——没有，技艺——就，没有，艺术——很多，人——想，直接，创新——但，基础，不牢——结果，空——技艺——需要，苦练——如，学，琴——先，练，音阶——数学，也，一样——先，做，题——掌握，技术——然后，才能，谈，创造。

第二节　艺术阶位

艺术——超越，技术——大家，宗师，开创。

大家。 大家——开创新，领域。

大家——大家（great master）——开创，新，领域——影响，一个，时代——如，柯西——开创，严格，分析——大家，不仅，做，好——而且，开，新，方向——他们，改变，了，数学——大家，是，少数——他们，名垂，史。

宗师。 宗师——建立，体系。

宗师——宗师（grandmaster）——建立，体系——成为，后世，典范——如，欧几里得——《几何，原本》——牛顿——《原理》——高斯——数论，宗师——宗师——不仅，开创——而且，系统——他们，的，书——后世，学——宗师——更，少——几，百年，出，一个。

开创。 开创——改变，数学，面貌。

开创——开创（innovator）——改变，数学，面貌——统一，不同，领域——如，格罗滕迪克——代数，几何，革命——开创——是，最高，成就——他们，重新，定义，数学——后世，在，他们，框架，下，工作——开创者——几，百年，出，一个——如，牛顿，高斯。

艺术阶位的例子——大，家——如，黎曼——开创，黎曼，几何——宗师——如，高斯——数论，几何，集，大成——开创——如，格罗滕迪克——重写，代数，几何——这些，人——不仅，聪明——而且，深刻——他们，看到，别人，没，看到——这，是，艺术——超越，技术——看到，本质。

第三节　道境阶位

道境——超越，数学——真理，美，人生。

数学与真理。 数学，与，真理——数学，是，真理，探索。

数学与真理——数学——不仅，是，工具——也是，真理——探索——数学家，通过，数学——接近，真理——柏拉图，说——数学，是，灵魂，回忆，理念——数学，真理——永恒——不，变——这，给，数学家——安定——在，变化，世界——有，永恒——真理。

数学与美。 数学，与，美——数学，是，美。

数学与美——数学，有，美——简洁，深刻，意外——数学家——为了，美——而，研究——如，Hardy——数学，的，美——不是，感觉——而是，理性，美——证明，的，优美——结构，的，和谐——这，种，美——比，艺术，更，纯粹——因为，它，永恒。

数学与人生。 数学，与，人生——数学，是，人生。

数学与人生——对，大，数学家——数学，就是，人生——不是，职业——而是，存在方式——如，Hardy——《一个，数学家，的，自白》——数学，是，他，的，生命——数学，教，他们——理性——诚实——坚持——这些，品格——渗透，人生——数学，家——的，人生——和，数学——合一。

道境的追求——道境——不是，每个人——都，达到——但，它，是，方向——即使，不到达——也，让，我们，超越，功利——看到，数学，的，崇高——数学——不仅，是，职业——也是，道路——通过，数学——我们，接近，真理——和美——这，是，数学，的，终极，意义。

数学境界阶位——技艺阶位、艺术阶位、道境阶位——介绍了数学境界阶位。技艺——入门，精通，名家——技术，层面——艺术——大家，宗师，开创——创造，层面——道境——真理，美，人生——精神，层面——从，技艺——到，艺术——到，道境——这，是，数学，学习，的，阶位——也是，人生，成长，的，阶位——数学，不，只是，知识——它，是，道路。

第46章　经典数学家境界解析

经典，数学家——他们，的，境界——是，我们，的，典范。本章从古代、近代、现代三个方面，解析经典数学家的境界。

第一节　古代

古代，数学家——奠基——欧几里得，阿基米德，刘徽，祖冲之。

欧几里得。 欧几里得——几何，之父。

欧几里得——欧几里得（Euclid，约，前300年）——希腊，数学家——《几何，原本》——从，公理，出发——演绎，体系——他，建立了，公理，方法——影响，两，千年——他，的，贡献——不仅，是，定理——更，是，方法——公理化——这，是，数学，的，基本，范式——他，的，境界——系统，和，严格——他，把，零散，几何——组织，成，体系——这，是，伟大，的，综合。

阿基米德。 阿基米德——古代，最，伟大，数学，家。

阿基米德——阿基米德（Archimedes，前287—前212）——希腊——穷竭法——面积，体积——近似，积分——他，接近，微积分——但，没，发展——他，还，是，工程师——杠杆——浮力——他，的，境界——理论，和，应用，结合——他，沉浸，思考——罗马，士兵，攻城——他，还，在，画，圆——被，杀——这，是，对，数学，的，献身——他，的，墓碑——刻，球，内切，圆柱——他，最，得意，的，定理。

刘徽与祖冲之。 中国，古代，数学——刘徽，祖冲之。

刘徽——刘徽（约，225—295）——魏晋——《九章，算术，注》——割圆术——极限，思想——他，计算，圆周率——π≈3.1416——他，的，注——不仅，解释——而且，创新——他，的，境界——算法，和，证明——结合——中国，数学，传统，——算法——刘徽，加入，证明——这，是，深化。祖冲之——祖冲之（429—500）——南北朝——圆周率——3.1415926<π<3.1415927——领先，世界，千年——他，的，成就——靠，坚持，和，技巧——中国，数学，家——实用，和，算法——但，也，有，深刻。

第二节　近代

近代，数学，家——革命——牛顿，莱布尼茨，欧拉，高斯，伽罗瓦，黎曼。

牛顿与莱布尼茨。 牛顿，莱布尼茨——发明，微积分。

牛顿——牛顿（Newton，1643—1727）——英国——微积分——力学——《原理》——他，发明，微积分——为了，力学——他，的，境界——统一——天上，和，地下——万有，引力——他，是，物理学家——也，是，数学，家。莱布尼茨——莱布尼茨（Leibniz，1646—1716）——德国——独立，发明，微积分——他，的，符号——更，好——dx，dy，积分，号——他，的，境界——形式，和，符号——他，看到，符号，的，力量——两人，关于，发明，权，争论——但，都，伟大。

欧拉与高斯。 欧拉——多产；高斯——数学，王子。

欧拉——欧拉（Euler，1707—1783）——瑞士——最，多产，数学，家——分析，数论，几何——图论——他，写，了，大量，教材——他，的，境界——广博，和，清晰——即使，失明——还，在，研究——他，是，数学，英雄。高斯——高斯（Gauss，1777—1855）——德国——数学，王子——数论，几何，分析——都，顶尖——《算术，研究》——开创，现代，数论——非欧，几何——但，没，发表——他，的，境界——完美，和，严格——“少，而，精”——他，不，发表，不，完美，的，结果——他，是，数学，家中，的，神。

伽罗瓦与黎曼。 伽罗瓦——群论；黎曼——几何。

伽罗瓦——伽罗瓦（Galois，1811—1832）——法国——群论——方程，可解性——他，21岁——决斗，死——前夜——写，下，理论——他，的，境界——天才，和，早逝——他，看到，别人，没，看到——群论，影响，现代，数学。黎曼——黎曼（Riemann，1826—1866）——德国——黎曼，几何——复，分析——黎曼，猜想——他，英年，早逝——但，每，篇，都，深刻——他，的，境界——深刻，和，直觉——他，看到，空间，的，可能性——广义，相对论，需要，他，的，几何——他，是，最，深刻，的，数学，家，之一。

第三节　现代

现代，数学，家——希尔伯特，格罗滕迪克，当代。

希尔伯特。 希尔伯特——现代，数学，的，领袖。

希尔伯特——希尔伯特（Hilbert，1862—1943）——德国——哥廷根，领袖——23，问题——引导，20世纪——他，的，境界——乐观，和，统一——“我们，必须，知道——我们，将，知道”——他，相信，数学，可解——他，培养，了，大量，学生——他，是，现代，数学，的，中心——他，的，问题——定义，了，20世纪，数学。

格罗滕迪克。 格罗滕迪克——代数，几何，革命。

格罗滕迪克——格罗滕迪克（Grothendieck，1928—2014）——法国——代数，几何，革命——概型——层论——他，重写，了，代数，几何——他，的，境界——抽象，和，统一——他，从，最高，处——看，问题——他，的，书——庞大，抽象——但，影响，巨大——他，后来，隐居——放弃，数学——这，也，是，传奇。

当代数学大家。 当代——活，着，的，大家。

当代——当代，数学，家——如，陶哲轩——多产——跨，领域——佩雷尔曼——证明，庞加莱，猜想——但，拒绝，菲尔兹，奖——当代，数学——更大，更，专业——但，精神——和，以前，一样——追求，真理，和美。

经典数学家境界解析——古代、近代、现代——介绍了经典数学家的境界。古代——奠基——欧几里得，阿基米德，刘徽，祖冲之——近代——革命——牛顿，莱布尼茨，欧拉，高斯，伽罗瓦，黎曼——现代——统一——希尔伯特，格罗滕迪克——这些，数学，家——不仅，是，天才——他们，的，境界——我们，学习——他们，的，精神——追求，真理——和美——这，是，数学，的，传统。

至此，《数学，之道，次第，广论》——全书，完——从，总序——到，46章——十卷——历史——基础——代数——几何——分析——概率统计——应用——创造——哲学——境界——我们，走过了——数学，之道——的，全程——数学——不仅，是，公式——和，定理——它，是，人类，精神，的，伟大，创造——它，是，真理——和美——它，是，道路——希望——这本，书——引导，读者——走进——数学——之，道。