一、二分类

任务定义

• 输入：一个特征向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$
• 输出：预测 y∈{0,1}y\in\{0,1\}y∈{0,1}
• 目标是构建一个模型，使得对于正样本 $y=1$ 和负样本 $y=0$ 能输出概率值 $0\le \hat{y}\le 1$。

二、逻辑回归

1. 为什么逻辑回归？

线性回归适合连续预测，而逻辑回归用 Sigmoid 函数 建模二分类概率输出：
$$\hat{y}=\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}},z={\theta }^{T}x$$
其中：

• $z={\theta }^{T}x$ 可看成 “线性得分”
• $\sigma (z)$ 映射到 [0,1] 作为概率

2. 原理解析

逻辑回归背后是假设：
$$P(y=1|x)=\sigma ({\theta }^{T}x)$$
这个模型可以被看成对输入特征做线性判别，再用 Sigmoid 转换为概率输出。

三、逻辑回归的代价函数

1. 目标

构建一个 “代价（loss）函数” 衡量预测值 $\hat{y}$ 与真实标签 $y$ 的差距。

2. 使用逻辑损失

$$\mathcal{L}(\hat{y},y)=-(y\log (\hat{y})+(1-y)\log (1-\hat{y}))$$

该损失函数理由：

• 当 $y=1$，损失为 $-\log (\hat{y})$，若模型预测概率低，则损失大。
• 当 $y=0$，损失为 $-\log (1-\hat{y})$，若模型预测概率高，则损失大。
• 有良好的凸性（globally convex），便于优化。

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四、梯度下降

1. 目标

最小化代价函数：
$$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\mathcal{L}({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})$$

2. 梯度下降规则

$$\theta :=\theta -\alpha {\nabla }_{\theta }J(\theta )$$

其中 $\alpha$ 是学习率。

五、导数

1. 为什么需要导数？

导数告诉我们 函数变化最快的方向，有助于沿最陡下降方向更新参数。

2. Sigmoid 导数技巧

$${\sigma }^{\prime }(z)=\sigma (z)(1-\sigma (z))$$

这是 Sigmoid 函数导数的重要结论，后续反向传播中广泛使用。

六、更多导数例子

1. 常见例子

• $f(z)=z^2$ 的导数是 $2z$
• $f(z)=\log (z)$ 的导数是 $1/z$

理解这些导数有助于推导梯度公式。

七、计算图

1. 什么时候用？

计算图是将复杂的函数分解为多个节点（运算单元）并按顺序串联的图结构，便于求 正向计算 和 反向求导。

2. 原理说明

通过链式法则（chain rule），计算图能分步求导：
如果 $J=f(g(h(w)))$，则：
$$\frac{dJ}{dw}=\frac{dJ}{dg}\cdot \frac{dg}{dh}\cdot \frac{dh}{dw}$$

八、计算图导数

步骤

1. 从输入到输出逐层计算
2. 从输出向输入沿边求导
3. 每步使用链式法则

九、逻辑回归的梯度下降

对参数求导：
$$\frac{\partial J}{\partial \theta }=\frac{1}{m}{X}^T(\hat{y}-y)$$
其中：

• $X\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$
• $\hat{y}=\sigma (X\theta )$

这个表达式其实就是向量化后的梯度公式。

十、多样本梯度下降例子

在 m 个样本中一次计算整个梯度（Batch GD），适合中等规模数据；见后一节向量化。

十一、向量化

1. 为什么要向量化？

向量化能利用线性代数库（BLAS/LAPACK）的优化，极大加速计算，避免 Python/Octave 中的显式循环。

十二、更多向量化例子

示例：

• 所有样本前向传播：

$$Z=W^{T}X+b$$

代替循环求每个 $x^{(i)}$ 的 $z^{(i)}$

十三、向量化逻辑回归

1. 正向传播

输入矩阵 $X\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$
$$Z=W^{T}X+b$$

$$A=\sigma (Z)$$

2. 反向传播（向量化）

$$dZ=A-Y$$

$$dW=\frac{1}{m}Xd{Z}^T$$

$$db=\frac{1}{m}\sum dZ$$

十四、向量化逻辑回归的梯度计算

完整推导：

1. $dZ=A-Y$（损失对线性输出导数）
2. $dW=\frac{1}{m}Xd{Z}^T$
3. $db=\frac{1}{m}\sum dZ$

十五、Python 中的广播机制

1. 广播是啥？

当两个不同形状的 numpy 数组进行运算时，NumPy 会自动扩展（broadcast）较小的数组，使得形状匹配。

2. 原理解释

广播机制是通过 对齐轴 并在必要时 重复元素 来匹配维度，从而避免手动重复 reshape。

十六、Python/NumPy 向量使用注意点

• 使用 np.dot() 做矩阵乘法，不要使用 *（表示元素乘）
• 保证维度匹配
• 小心形状 (n,) vs (n,1)

十七、逻辑回归损失函数

为什么损失函数这样定义？

• 对数损失对应的是 最大似然估计（MLE） 的对数似然（log-likelihood）最小化问题，这使得逻辑回归与统计学中的概率解释紧密相关。
• 对数损失相比平方误差不会导致 “饱和区梯度过小” 的问题，提升训练稳定性。