2.1 为什么需要偏导数？

在现实问题中，很多量依赖于多个变量。比如：

• 房间的温度 $T$ 可能取决于位置 $(x,y,z)$ 和时间 $t$，即 $T=T(x,y,z,t)$。
• 一个圆柱体的体积 $V$ 取决于底面半径 $r$ 和高 $h$：$V=\pi r^{2}h$。

当我们想研究其中一个变量变化时对函数的影响（而保持其他变量不变），就需要偏导数的概念。

2.2 偏导数的直观理解

想象一个二元函数 $z=f(x,y)$，它的图像是一个曲面（在三维空间中）。如果我们固定 $y$ 不变（比如 $y=y_0$），那么函数就变成了关于 $x$ 的一元函数：$z=f(x,y_0)$。这个一元函数的图像是曲面与平面 $y=y_0$ 的交线，是一条曲线。这条曲线在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率，就是函数 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数。

类似地，固定 $x$ 不变，可以得到关于 $y$ 的偏导数，它表示沿 $y$ 方向的变化率。

2.3 偏导数的定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。

• 如果固定 $y=y_0$，让 $x$ 有增量 $\Delta x$，则相应的函数增量为 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$。
  如果极限
  $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$
  存在，则称此极限为函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作
  $$f_x(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)},\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}.$$

• 类似地，定义对 $y$ 的偏导数：
  $$f_y(x_0,y_0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}.$$

对于更多变量的函数，偏导数的定义可以类推：对某一个变量求偏导时，将其他所有变量视为常数，然后按一元函数求导法则计算。

2.4 如何计算偏导数？

计算偏导数非常简单：把其他变量看作常数，对目标变量用一元函数求导法则。

例1：$f(x,y)=x^2+3xy+y^3$

• 对 $x$ 求偏导：将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导
  $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y\cdot 1+0=2x+3y.$$

• 对 $y$ 求偏导：将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求导
  $$\frac{\partial f}{\partial y}=0+3x\cdot 1+3y^2=3x+3y^2.$$

例2：$f(x,y)=e^{xy}\sin (x+y)$

• 对 $x$ 求偏导：
  看作乘积 $u=e^{xy}$，$v=\sin (x+y)$，其中 $u$ 对 $x$ 求导时 $y$ 是常数：$\frac{\partial u}{\partial x}=y{e}^{xy}$。
  $v$ 对 $x$ 求导：$\frac{\partial v}{\partial x}=\cos (x+y)\cdot 1$。
  所以
  $$\frac{\partial f}{\partial x}=(y{e}^{xy})\sin (x+y)+e^{xy}\cos (x+y).$$

• 对 $y$ 求偏导：
  $\frac{\partial u}{\partial y}=x{e}^{xy}$，$\frac{\partial v}{\partial y}=\cos (x+y)\cdot 1$，
  所以
  $$\frac{\partial f}{\partial y}=(x{e}^{xy})\sin (x+y)+e^{xy}\cos (x+y).$$

例3：$f(x,y,z)=x^{2}yz+\ln (xz)$

• 对 $x$ 求偏导：$y,z$ 视为常数
  $$\frac{\partial f}{\partial x}=2xyz+\frac{1}{xz}\cdot z=2xyz+\frac{1}{x}.$$

• 对 $y$ 求偏导：$x,z$ 视为常数
  $$\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}z+0=x^{2}z.$$

• 对 $z$ 求偏导：$x,y$ 视为常数
  $$\frac{\partial f}{\partial z}=x^{2}y+\frac{1}{xz}\cdot x=x^{2}y+\frac{1}{z}.$$

2.5 偏导数的几何意义

以二元函数 $z=f(x,y)$ 为例：

• $f_x(x_0,y_0)$ 表示曲面被平面 $y=y_0$ 所截得的曲线在点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 处的切线对 $x$ 轴的斜率。
• $f_y(x_0,y_0)$ 表示曲面被平面 $x=x_0$ 所截得的曲线在点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 处的切线对 $y$ 轴的斜率。

2.6 偏导数与全微分

如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微（即存在切平面），则全微分定义为：
$$df=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy.$$
它近似表示当 $x$ 和 $y$ 分别有微小变化 $dx,dy$ 时，函数值的改变量。

偏导数存在是可微的必要条件，但不是充分条件（还需要偏导数连续等）。

2.7 高阶偏导数

对一个函数求偏导后，得到的新函数仍然是多变量函数，可以继续求偏导，得到高阶偏导数。

例如，对 $f(x,y)$：

• 二阶纯偏导：
  $$f_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),f_{yy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).$$

• 二阶混合偏导：
  $$f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),f_{yx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).$$

克莱罗定理（混合偏导数相等条件）：如果 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，则它们相等：$f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$。

例子：$f(x,y)=x^3{y}^2+e^x\sin y$

• 一阶偏导：
  $f_x=3x^2{y}^2+e^x\sin y$
  $f_y=2x^{3}y+e^x\cos y$
• 二阶偏导：
  $f_{xx}=6x{y}^2+e^x\sin y$
  $f_{yy}=2x^3-e^x\sin y$
  $f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}(f_x)=6x^{2}y+e^x\cos y$
  $f_{yx}=\frac{\partial }{\partial x}(f_y)=6x^{2}y+e^x\cos y$，两者相等。

2.8 偏导数的应用

• 多元函数的极值问题：通过解方程组 $f_x=0,f_y=0$ 找到驻点，再结合二阶偏导数判断极值类型。
• 方向导数与梯度：梯度向量 $\nabla f=(f_x,f_y)$ 方向是函数增长最快的方向。
• 物理中的场论：如温度场的温度梯度、电场的电势梯度等。
• 经济学中的边际分析：比如生产函数 $Q(K,L)$ 对资本 $K$ 的偏导表示资本的边际产出。

2.9 常见疑问与注意事项

• 偏导数的记号：使用 $\partial$ 而不是 $d$，以强调是对多元函数中某一变量求导。

• 偏导数存在与函数连续：偏导数存在不能推出函数连续（但可微可以推出连续）。例如函数
  $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$
  在 $(0,0)$ 处两个偏导都存在（均为0），但函数不连续。

• 求偏导时其他变量视为常数，这一点要特别注意，不要混淆。

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