1.1 导数是什么？——从两个实际问题出发

导数是一个描述“变化率”的工具。我们首先通过两个熟悉的例子来感受它。

例1：瞬时速度

• 假设一辆汽车在直路上行驶，路程 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s=f(t)$（比如 $s=t^2$ 米）。
• 我们想知道汽车在某一时刻 $t_0$ 的瞬时速度。
• 初中物理我们学过平均速度：$\text{平均速度}=\frac{\text{路程变化量}}{\text{时间变化量}}=\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}$，其中 $\Delta t$ 是一小段时间间隔。
• 但是平均速度只能反映一段时间内的平均快慢，不能精确描述某个瞬间的快慢。为了得到瞬时速度，我们让 $\Delta t$ 越来越小（趋近于0），如果这个平均速度会趋近于一个固定的数值，那么这个数值就是 $t_0$ 时刻的瞬时速度。

例2：切线的斜率

• 在函数 $y=f(x)$ 的图像上，取一点 $P(x_0,f(x_0))$。
• 我们想画出曲线在点 $P$ 处的切线（一条刚好在 $P$ 点接触曲线的直线），并求出它的斜率。
• 我们可以先取另一个点 $Q(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$，连接 $P$ 和 $Q$ 得到一条割线。割线的斜率为 $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。
• 当 $Q$ 沿着曲线越来越接近 $P$ 时（即 $\Delta x\to 0$），割线就逐渐逼近切线，割线的斜率也就逐渐逼近切线的斜率。

1.2 导数的定义

以上两个例子虽然背景不同，但数学形式完全一样：都是求一个函数在某一点处的变化率的极限。这个极限就是导数。

定义：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$（$\Delta x\ne 0$）时，相应的函数增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。如果极限
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，该极限值称为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作：
$$f^{\prime }(x_0),y^{\prime }{|}_{x=x_0},\frac{df}{dx}{|}_{x=x_0},\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}.$$

注意：

• 导数是一个数值（当 $x_0$ 固定时），它表示函数在 $x_0$ 处的瞬时变化率。
• 如果极限不存在，则称函数在 $x_0$ 处不可导。

1.3 导数的几何与物理意义

• 几何意义：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 就是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线的斜率。
• 物理意义：若 $f(t)$ 表示位移关于时间的函数，则 $f^{\prime }(t_0)$ 就是 $t_0$ 时刻的瞬时速度。若 $f(t)$ 表示速度关于时间的函数，则 $f^{\prime }(t_0)$ 就是 $t_0$ 时刻的瞬时加速度。

1.4 如何计算导数？——从定义出发

对于一些简单函数，我们可以直接用定义计算导数。例如，求 $f(x)=x^2$ 在 $x=1$ 处的导数。

$$f^{\prime }(1)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(1+\Delta x{)}^2-1^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1+2\Delta x+(\Delta x{)}^2-1}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(2+\Delta x)=2.$$

所以 $f^{\prime }(1)=2$。

如果想求导函数（即每一点的导数表达式），则将 $x_0$ 换成变量 $x$：
$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(x+\Delta x{)}^2-x^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2x\Delta x+(\Delta x{)}^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(2x+\Delta x)=2x.$$
因此，$f(x)=x^2$ 的导函数为 $f^{\prime }(x)=2x$。

1.5 基本初等函数的导数公式

用定义可以推导出一些常用函数的导数，为了方便，我们直接记住这些公式：

1. 常数函数：$f(x)=C$（$C$ 为常数），则 $f^{\prime }(x)=0$。
2. 幂函数：$f(x)=x^n$（$n$ 为实数），则 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$。
   • 例如：$x^2$ 导数为 $2x$，$x$ 导数为 $1$，$\sqrt{x}=x^{1/2}$ 导数为 $\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。
3. 指数函数：
   • $f(x)=a^x$（$a>0,a\ne 1$），则 $f^{\prime }(x)=a^x\ln a$。
   • 特别地，$f(x)=e^x$，则 $f^{\prime }(x)=e^x$。
4. 对数函数：
   • $f(x)={\log }_{a}x$（$a>0,a\ne 1$），则 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln a}$。
   • 特别地，$f(x)=\ln x$，则 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$。
5. 三角函数：
   • $\sin x$ 的导数为 $\cos x$。
   • $\cos x$ 的导数为 $-\sin x$。
   • $\tan x$ 的导数为 ${\sec }^{2}x$。
   • 其他可自行查阅。

1.6 导数的运算法则

如果函数是由基本初等函数组合而成，我们可以利用以下法则求导。

设 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 均可导，则：

• 和差法则：$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$。
• 积法则：$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$。
• 商法则：${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$（$v\ne 0$）。
• 常数倍：$(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }$（$C$ 为常数）。

例子：求 $f(x)=3x^2+\sin x$ 的导数。
$$f^{\prime }(x)=(3x^2{)}^{\prime }+(\sin x{)}^{\prime }=3\cdot 2x+\cos x=6x+\cos x.$$

例子：求 $g(x)=x^2{e}^x$ 的导数。
$$g^{\prime }(x)=(x^2{)}^{\prime }{e}^x+x^2(e^x{)}^{\prime }=2x{e}^x+x^2{e}^x=e^x(x^2+2x).$$

1.7 复合函数求导——链式法则

如果函数是由两个函数复合而成，比如 $y=f(g(x))$，那么它的导数为：
$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$$
即先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。

例子：求 $h(x)=\sin (2x)$ 的导数。
令外层 $f(u)=\sin u$，内层 $u=2x$，则
$$h^{\prime }(x)=\cos (2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

例子：求 $y=(x^2+1{)}^3$ 的导数。
$$y^{\prime }=3(x^2+1{)}^2\cdot (x^2+1{)}^{\prime }=3(x^2+1{)}^2\cdot 2x=6x(x^2+1{)}^2.$$

1.8 高阶导数

函数 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)$ 本身也是一个函数，可以对它再次求导，得到二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$，记作 $\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$。类似地有三阶、四阶等。

例如，$f(x)=x^3$，则 $f^{\prime }(x)=3x^2$，$f^{\prime \prime }(x)=6x$，$f^{\prime \prime \prime }(x)=6$，四阶及更高阶导数为0。

1.9 导数的应用（简要）

• 判断函数单调性：若在某区间内 $f^{\prime }(x)>0$，则函数单调递增；若 $f^{\prime }(x)<0$，则单调递减。
• 求极值：在导数为零的点（驻点）或不可导点处可能取得极值，需进一步判断。
• 求切线方程：已知点 $(x_0,y_0)$ 和斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$，切线方程为 $y-y_0=k(x-x_0)$。
• 物理中的瞬时速度、加速度等。

1.10 常见疑问与注意事项

• 可导与连续的关系：如果函数在某点可导，则它在该点一定连续；但连续不一定可导（例如 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导）。
• 导数符号：$f^{\prime }(x_0)$ 是一个数值，$f^{\prime }(x)$ 是一个函数。
• 求导时注意定义域：比如 $\ln x$ 的导数为 $1/x$，但 $\ln x$ 的定义域是 $x>0$。

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