分形不变量约束的深度学习模型：无标签的湍流超分辨率重构

Fractal-constrained Deep Learning for Super-resolution of Turbulence with Zero or Few Label Data

吴佳昕, 罗敏*, Boo Cheong Khoo, 肖敦辉, 林鹏智

 

引用格式：Wu J, Luo M, Khoo B C, et al. Fractal-constrained deep learning for super-resolution of turbulence with zero or few label data[J]. Computer Physics Communications, 2025, 312: 109548.

1 摘要：

　　湍流的超分辨率重建是当前流体力学与海洋工程中的关键课题，对于提升物理场解析精度与表征亚网格结构特征具有重要意义。然而，现有方法在刻画湍流的多尺度动力学特性与能量级联机制方面仍面临挑战。为此，本文提出一种融合分形约束的深度学习超分辨率模型——SKFSR-FIC，以提高复杂非线性流场的重建精度与物理一致性。该模型包括两项核心设计：（1）多尺度特征复用的主干网络 SKFSR，能够有效识别并重构湍流中的多频结构与尺度信息；（2）基于分形统计自相似性的分形不变性约束模块 FIC，通过引入可微分的分形维数作为物理约束，引导模型在缺乏高分辨率标签数据的情况下实现亚网格信息的高保真重构。与传统插值或深度网络方法相比，SKFSR-FIC 具有更强的物理一致性、噪声鲁棒性与外推泛化能力，支持无监督、半监督和监督等多种学习模式。特别是在半监督条件下，即便仅依赖极少量标签样本，仍可实现高质量重建，展现出数据驱动与物理嵌入融合的显著优势与广泛工程适应性。

2.研究方法:

　　针对上述挑战，本文提出了一种物理-数据协同驱动的“灰箱”深度学习模型。如图一(c)所示，该SKFSR-FIC模型可采用无监督或半监督学习策略，分别实现无标签或者极少数据（如单样本）场景下的湍流物理场超分辨率重构。该模型具有两个独创性设计，分别为深度学习超分辨率主网络、分形不变律物理约束。

（1）感知多尺度自相似性的深度卷积主网络

　　提出了一种短路连接特征复用的超分辨率（简称为SKFSR）主网络。该主网络依托于具有尺度不变性的卷积运算，以及深度网络对亚网格信息的学习与变换能力，实现对湍流多尺度结构的特征提取和尺度不变重构。SKFSR主网络结构如图一(b)所示，包括编码器、解码器和放大器三部分。其中，SKFSR的编码器由四个下采样单元组成，每个单元由一个卷积层和一个池化层构成，用于识别和提取输入快照的多尺度空间特征。

（2）分形不变律物理约束

　　提出了一种利用尺度不变性的可优化约束，称为分形不变性约束FIC，用于激活SKFSR主网络的多尺度注意力机制，即通过物理特性引导网络模型学习和重构多尺度不变的流动结构。FIC包含一个可优化损失函数及其相关的计算模块，即通过提出一种可微分的盒计数算法来计算分形维数，实现传统方法不具备的误差反向传播机制。以此，FIC构建了一个可被准确优化的物理约束目标函数，引导SKFSR主网络学习尺度不变量，使重构的超分辨率快照具有一致于输入信息的自相似性。FIC在计算上也具有高效性，主要体现在以下两个方面：首先，它通过分形维数作为统计性物理约束，避免了求解偏微分方程的复杂过程，也降低了对边界条件和雷诺数等先验知识的依赖。其次，FIC实现了张量运算，避免了传统盒计数中耗时的网格搜索和嵌套循环操作。

3.结果展示：

　　FIC将尺度不变性作为物理约束嵌入SKFSR网络，构建了SKFSR-FIC模型，用于捕捉湍流等复杂系统的多尺度结构或低阶演化模式的内在自相似性，实现尺度不变物理约束下的流场超分辨率。SKFSR模型实现了自适应于物理和/或数据协同学习模式，支持监督学习、无监督学习以及半监督学习等多种训练策略。半监督模式下，分形物理约束将引导SKFSR-FIC模型识别并学习标签数据隐含的内在不变性特征，通过标签数据和物理的协同与互补，提升模型对亚网格物理量的重构精度。

3.1 深度学习模型验证

　　本文采用迭代函数系统，生成具有确定且不变的分形维数的分形结构体，验证SKFSR-FIC模型的超分辨率重构精度。图二所示展示了拟分析的五种典型分形结构体基本单元（简称基元），包括斜率为1的直线、三种不同分形维数的科赫（Koch）曲线、谢尔宾斯基（Sierpiński）地毯，分别定义为工况a - e。

　　图二的第一行展示了未迭代的五种分形基本单元，第二行是对IFS结果下采样得到的低分辨率输入数据。第三行为插值方法重构的512 × 512超分辨率图像，其中的小尺度结构被过度平滑化，表明了插值方法对小尺度结构的滤波特性。相比之下，第四行展示的无监督学习SKFSR-FIC模型重构结果具有明显优势，分形结构体的边界更为精细，小尺度结构更为丰富，展现出复杂的仿射特征。

3.2 海洋湍流物理场的超分辨率重构

　　图四是对渠道湍流在放大比率fu = 8下的超分辨率结果。其中，SKFSR-FIC模型，尤其是采用半监督学习模式下，SKFSR-FIC模型重构的小尺度流动结构与标签数据高度吻合。其准确地重构多尺度流动相干结构，包括壁面边界层，以及向渠道中心线迁移和转化的小尺度流动结构。相比之下，传统DLSR模型和插值方法的重构结果存在明显缺陷，前者因过拟合小尺度结构而使输出数据出现显著噪声，后者则因高频成分缺失而使得物理场的小尺度结构被过度平滑化。结果充分证明了SKFSR-FIC模型在处理多尺度动力系统，尤其是捕捉小尺度流动结构的显著优势。

　　图五的能谱曲线表明，SKFSR-FIC模型在研究的所有波数范围内均保持了与标签数据一致的分布特性，表明模型捕捉并重构多尺度湍流物理特性方面的精度。FIC将湍流的自相似演化模式作为物理约束，有效克服了传统DLSR模型对高频能谱的过拟合问题。通过将FIC嵌入SKFSR模型，尤其是与数据协同的半监督学习模式下，模型重构快照与真实值具有高度一致的能谱，表明SKFSR-FIC模型准确重构了惯性子区能谱的幂律分布特征。

4.结论：

　　为提升湍流物理场的超分辨率重构精度与泛化能力，本文提出了一种融合多尺度感知与物理约束的深度学习模型——SKFSR-FIC。该模型由多尺度特征识别与复用的主干网络 SKFSR 以及具备分形不变性约束能力的辅助模块 FIC 组成，实现对复杂湍流结构的高精度、低依赖重建。

　　SKFSR 网络通过引入多尺度感知机制与特征复用结构，强化了对非线性湍流中的多频模态与关键结构的解析与表达，是模型实现高维非线性信息恢复的基础。FIC 模块则基于可微分分形维数计算方法，以尺度不变性为物理约束，引导模型在缺乏标签数据时仍可捕捉湍流中的结构规律，有效提升重建的物理一致性与外推鲁棒性。

　　此外，SKFSR-FIC 支持监督、无监督与半监督三种训练模式，具备良好的灵活性与适应性。尤其在半监督场景下，即便仅依赖单帧标签数据，模型仍可实现精度最优的超分辨率重建，充分展现出物理驱动与数据学习融合机制在数据稀缺环境中的优势与工程应用潜力。

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