不定积分是微积分学中的基本概念，它是导数的逆运算。简单来说，已知一个函数的导函数，求原来的函数的过程就是不定积分。

3.1 原函数与不定积分的定义

设函数 $f(x)$ 定义在某区间上，如果存在函数 $F(x)$，使得在该区间内每一点都有
$$F^{\prime }(x)=f(x)\text{或}dF(x)=f(x)dx$$
则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在该区间上的一个原函数。显然，如果 $F(x)$ 是原函数，那么 $F(x)+C$（$C$ 为任意常数）也是原函数，因为常数导数为零。

函数 $f(x)$ 的全体原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记作
$$\int f(x)dx=F(x)+C$$
其中 $C$ 称为积分常数。

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3.2 不定积分的几何意义

从几何上看，不定积分表示一族平行的曲线，它们在横坐标相同的点处有相同的切线斜率（即导数相等）。常数 $C$ 决定曲线上下平移的位置。

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3.3 不定积分的性质

1. 线性性质：设 $f(x),g(x)$ 可积，$k_1,k_2$ 为常数，则
   $$\int [k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dx=k_1\int f(x)dx+k_2\int g(x)dx.$$

2. 微分与积分互逆：
   $$\frac{d}{dx}\left(\int f(x)dx\right)=f(x)\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C.$$

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3.4 基本积分公式表

以下是一些常用函数的不定积分公式（$C$ 为积分常数）：

• $\int 0dx=C$
• $\int 1dx=x+C$
• $\int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C(\mu \ne -1)$
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int \cos xdx=\sin x+C$
• $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$
• $\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$
• $\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$
• $\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$
• $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$

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3.5 常用积分方法

1) 第一类换元法（凑微分法）

若 $\int g(u)du=G(u)+C$，且 $u=\phi (x)$ 可导，则
$$\int g(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=\int g(u)du=G(u)+C=G(\phi (x))+C.$$
关键在于将被积表达式凑成某个函数的微分形式。

例：求 $\int 2x\cos (x^2)dx$。
令 $u=x^2$，则 $du=2xdx$，于是原积分化为 $\int \cos udu=\sin u+C=\sin (x^2)+C$。

2) 第二类换元法（变量代换法）

令 $x=\psi (t)$，其中 $\psi (t)$ 单调可导，且 ${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$，则
$$\int f(x)dx=\int f(\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)dt.$$
求出关于 $t$ 的积分后，再代回 $ x $。

例：求 $\int \sqrt{1-x^2}dx$。
令 $x=\sin t$，$t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，则 $dx=\cos tdt$，$\sqrt{1-x^2}=\cos t$，积分化为 $\int {\cos }^{2}tdt=\int \frac{1+\cos 2t}{2}dt=\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}+C$，最后用 $t=\arcsin x$ 回代。

3) 分部积分法

由乘积求导法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 得
$$\int udv=uv-\int vdu.$$
适用于被积函数是两个函数乘积的情形，关键在于恰当选择 $u$ 和 $dv$。

例：求 $\int x{e}^{x}dx$。
令 $u=x$，$dv=e^{x}dx$，则 $du=dx$，$v=e^x$，于是
$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C.$$

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3.6 有理函数积分简介

有理函数是指两个多项式之比。积分时通常先化为真分式，再分解为部分分式之和，然后逐项积分。

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3.7 注意事项

• 不定积分的结果必须加上任意常数 $C$。
• 检验积分结果是否正确，可以对结果求导，看是否等于被积函数。
• 同一个函数的不定积分可能因方法不同而呈现不同形式，但它们之间仅相差常数。

不定积分是学习定积分、微分方程等后续内容的基础，熟练掌握基本公式和常用方法是关键。

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